大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問48 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問4)

空欄(ア)〜(ウ)

円Cの式を変形させると、
x²-2sx+y²-2ty+s²=0
x²-2sx+s²+y²-2ty+t²=t²

（x-s）²+（y-t）²=t²

となり、これは中心(s, t)で半径tの円であることがわかります。

空欄(エ)

作図してみるとわかりますが、t>0なので円の中心のがyプラス側で、
x軸上に乗ったような状態なのがわかります。
このとき-2<s<2なので、x方向の中心は-2から2までの間になります。
(図中の青色の領域は、円Cの中心が取りうる範囲となります。)

そのため、y軸、y=x、y=-xとは、s、tによって接するだけでなく、離れたり、交差します。 

空欄(オ)、(カ)

円C₀は
x²＋y²＝4
より、中心(0, 0)の原点O、半径2(=r₀)の円だということがわかります。

図中の青色の領域は円Cの中心(s, t) (-2<s<2, t>0)の取る範囲です。

このことと、円Cが常にx軸と接することから、CはC₀に内包されるか接するか交わることになり、C₀の外側に完全に出ることはありません。
よってCとC₀が接する場合は、内接となります。

C₀の半径r₀とCの半径rとC₀とCの中心間の距離dとの関係は、内接であることから、r,d<r₀となります。

距離dは、図より、

d=r₀-r

r₀、r、dはそれぞれ、

r₀=2

r=t

d²=s²+t²
なので、

d²=(r₀-r)²

s²+t²=(2-t)²

t=(4-s²)/4

解答：（4-s²）/4

解説：

（カ）の解答より、d=r₀-r…①です。

ここで、円C₀の半径r₀は2、円Cの半径rはtです。

また、円C₀の中心（0,0）と円Cの中心（s,t）の距離dは、

三平方の定理より、

d=√（s²+t²）

となります。

これらを式①に代入すると、

√（s²+t²）=2-t

両辺を2乗すると、

s²+t²=（2-t）²

⇔s²+t²=4-4t+t²

⇔t=（4-s²）/4