大学入学共通テスト（数学）過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問50 (数学Ⅱ・数学B（第2問）問6)

問題文

同一平面上にある二つの円を考える。二つの円がただ一つの共有点をもつとき、二つの円は接するという。二つの円が図1のように接するとき、二つの円は外接するといい、図2のように接するとき、二つの円は内接するという。

実数sは−2＜s＜2を満たし、実数tはt＞0を満たすとする。Oを原点とする座標平面において、方程式

x²＋y²＝4

が表す円をC₀，方程式

x²−2sx＋y²−2ty＋s²＝0・・・・・①

が表す円をCとする。

（1）Cは、中心（［　ア　］，［　イ　］），半径（　ウ　）の円である。また、Cはsやtの値によらず（　エ　）と接している。

（2）CとC₀が接する場合を考える。CとC₀が接したまま実数sが−2＜s＜2の範囲を動くとき、Cの中心が描く図形について考えよう。

（ⅱ）Cの中心が描く図形の概形を実線で表したものは（　ク　）である。

（3）実数kは−2＜k＜2を満たすとする。①が表す円のうち、直線x＝kとC₀の両方に接する円は二つある。そのうち、中心が不等式x＜kの表す領域にある円をC₁、中心が不等式x＞kの表す領域にある円をC₂とする。

前問を考慮すると、k＝（　ケ　）のときC₁の半径は最大値をとることがわかる。また、k＝（　ケ　）のとき、C₂の中心の座標は

（［　コ　］√［　サ　］−［　シ　］，［　ス　］√［　セ　］−［　ソ　］）

である。

（　ケ　）にあてはまるものを一つ選べ。

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問題

大学入学共通テスト（数学）試験令和7年度（2025年度）追・試験問50（数学Ⅱ・数学B（第2問）問6）（訂正依頼・報告はこちら）

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この過去問の解説（2件）

空欄(ア)〜(ウ)

円Cの式を変形させると、
x²-2sx+y²-2ty+s²=0
x²-2sx+s²+y²-2ty+t²=t²
（x-s）²+（y-t）²=t²
となり、これは中心(s, t)で半径tの円であることがわかります。

空欄(エ)

空欄(エ)の解説の画像へのリンク
作図してみるとわかりますが、t>0なので円の中心のがyプラス側で、
x軸上に乗ったような状態なのがわかります。
このとき-2<s<2なので、x方向の中心は-2から2までの間になります。
(図中の青色の領域は、円Cの中心が取りうる範囲となります。)
そのため、y軸、y=x、y=-xとは、s、tによって接するだけでなく、離れたり、交差します。

空欄(オ)、(カ)

円C₀は
x²＋y²＝4
より、中心(0, 0)の原点O、半径2(=r₀)の円だということがわかります。
空欄(オ)、(カ)の解説の画像へのリンク
図中の青色の領域は円Cの中心(s, t) (-2<s<2, t>0)の取る範囲です。
このことと、円Cが常にx軸と接することから、CはC₀に内包されるか接するか交わることになり、C₀の外側に完全に出ることはありません。
よってCとC₀が接する場合は、内接となります。

C₀の半径r₀とCの半径rとC₀とCの中心間の距離dとの関係は、内接であることから、r,d<r₀となります。
距離dは、図より、
d=r₀-r