共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問51 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問7)

中心が前問の軌跡に沿って動くこと、中心のx座標が半径と一致することを考えると、C₁の半径が最大となるのは、C₁中心が放物線の頂点(0,1)と一致するときといえます。

このとき、円の半径も1であるため、k=1のときC₁の半径は最大値をとります。

C₂の中心のx座標sについて

C₁とC₂がどちらも直線x=kを挟むように接することから　s=k+r₂

k=1、r₂=t=（4-s²）/4　であるため

s=1+t

すなわち　s=1+（4-s²）/4　という式を得るので、これを解きます

4s=4+(4-s²)

s²+4s-8=0

s=-2±2√3

s>k(=1)より、s=-2+2√3

s=1+t　より　t=s-1=-3+2√3　であるため

C₂の中心(s、t)は(2√3-2、2√3-3)　となります

空欄(ア)〜(ウ)

円Cの式を変形させると、
x²-2sx+y²-2ty+s²=0
x²-2sx+s²+y²-2ty+t²=t²

（x-s）²+（y-t）²=t²

となり、これは中心(s, t)で半径tの円であることがわかります。

空欄(エ)

空欄(エ)の解説の画像へのリンク

作図してみるとわかりますが、t>0なので円の中心のがyプラス側で、
x軸上に乗ったような状態なのがわかります。
このとき-2<s<2なので、x方向の中心は-2から2までの間になります。
(図中の青色の領域は、円Cの中心が取りうる範囲となります。)

そのため、y軸、y=x、y=-xとは、s、tによって接するだけでなく、離れたり、交差します。 

空欄(オ)、(カ)

円C₀は
x²＋y²＝4
より、中心(0, 0)の原点O、半径2(=r₀)の円だということがわかります。

空欄(オ)、(カ)の解説の画像へのリンク

図中の青色の領域は円Cの中心(s, t) (-2<s<2, t>0)の取る範囲です。

このことと、円Cが常にx軸と接することから、CはC₀に内包されるか接するか交わることになり、C₀の外側に完全に出ることはありません。
よってCとC₀が接する場合は、内接となります。

C₀の半径r₀とCの半径rとC₀とCの中心間の距離dとの関係は、内接であることから、r,d<r₀となります。

距離dは、図より、

d=r₀-r

空欄(キ)

r₀、r、dはそれぞれ、

r₀=2

r=t

d²=s²+t²
なので、

d²=(r₀-r)²

s²+t²=(2-t)²

t=(4-s²)/4

空欄(ク)

空欄(ク)の解説の画像へのリンク

Cの中心が描く図形は、Cの中心点(s, t)の軌跡となります。
t=(4-s²)/4=(-1/4)・s²+1

これは、y軸との接点が1で、上に凸な放物線となります。

空欄(ケ)

円Cの半径r(=t)が最大となるのは、

t=(4-s²)/4=(-1/4)・s²+1
より、s=0のとき、t=1(=r)で最大となります。

このときのCがC₁(つまりx<k)になりますので、このときのkは、
k=s+r=1
となります。

C₂(つまりk<x)を考えます。

今、k、r、ｓのそれぞれの値を確認すると、以下の通りです。
k=1

r=t

s=r+k=t+1
以上より、中心点s、tの関係式から

t=(4-s²)/4
4t=4-(t-1)²

t²+6t-3=0

t=-3±2√(3)

t>0より、

t=2√(3)-3

s=t+1=2√(3)-2

解答：（2√3-2,2√3-3）

解説：

円C₂は（2）と同様の条件なので、中心の座標を（s,t）とすると、

t=-1/4s²+1…①を満たします。

また、x=kと接し、x=kより右側に存在することと、x軸と接することから、

s-kとtが半径と同じであるため、以下の式が立てられます。

s-1=t

⇔s=t+1…②

①、②を連立すると、

t=-1/4（t+1）²+1

⇔4t=-t²-2t-1+4

⇔t²+6t-3=0

⇔t=-3±2√3

t>0より、

t=2√3-3

②に代入すると、

s=2√3-2