共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問52 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問1)

一般に

F(x)=∫_a^xf(t)dt　のとき

F'(x)=f(x)　が成り立ちます

本問ではこの性質における　a=0、f(t)=t(t-2)　と考えて

F'(x)=f(x)=x(x-2)=x²-2x

となります

p(x)=x(x-2)

と置くと、
F(x)=∫₀^xp(t)dt
F'(x)は定積分で表された関数の微分ですので、
F'(x)=p(x)
=x(x-2)
=x²-2x

定積分で表された関数の微分を詳しく説明すると以下のとおりです。
F(x)=∫₀^xp(t)dt
p(t)の原始関数をP(t)とすると、
F(x)=P(x)-P(0)
両辺を微分すると、
F'(x)=p(x)

解答：2

解説：

∫₀^xf(t)dtをxで微分すると、f(x)になります。

よって、以下の関係式が得られます。

F'(x)=f(x)

=x(x-2)

=x²-2x