共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問52 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問1)
問題文
以下、（ ア ）にあてはまるものを一つ選べ。 
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この過去問の解説 （3件）
01
一般に
F(x)=∫axf(t)dt のとき
F'(x)=f(x) が成り立ちます
本問ではこの性質における a=0、f(t)=t(t-2) と考えて
F'(x)=f(x)=x(x-2)=x2-2x
となります
一見難しそうな公式に見えますが、微分と積分が逆演算であることから
『f(x)を積分したものを微分したら元に戻る』ことを表す公式と覚えましょう。
定積分で表すとxの関数になるように、被積分関数をtの関数、積分区間をaからxとしています。
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02
p(x)=x(x-2)
と置くと、
F(x)=∫0xp(t)dt
F'(x)は定積分で表された関数の微分ですので、
F'(x)=p(x)
=x(x-2)
=x2-2x
定積分で表された関数の微分を詳しく説明すると以下のとおりです。
F(x)=∫0xp(t)dt
p(t)の原始関数をP(t)とすると、
F(x)=P(x)-P(0)
両辺を微分すると、
F'(x)=p(x)
定積分で表された関数の微分
F(x)=∫0xg(t)dt
F'(x)=g(x)
は積分と微分の関係性を表した典型的な形として覚えておきましょう。
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03
解答：2
解説：
∫0xf(t)dtをxで微分すると、f(x)になります。
よって、以下の関係式が得られます。
F'(x)=f(x)
=x(x-2)
=x2-2x
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