共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問54 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問3)

(ア)より　F'(x)=x²-2x=x(x-2)　です

 

F'(x)=0　となるxの値は

　x(x-2)=0　より　x=0,2　を得ます

 

F'(x)>0　となるのは　x<0、2<x　の範囲

F'(x)<0　となるのは　0<x<2　の範囲であり

以下の増減表がかけます

 

x	…	0	…	2	…
F'(x)	+	0	-	0	+
F(x)	↗	極大	↘	極小	↗

F(x)=∫₀^xt(t-2)dt であることに留意すると

 

増減表より、F(x)は

x=0のとき極大値F(0)=∫₀⁰t(t-2)dt=0　となります

増減表より、F(x)は

x=2のとき極小値

F(2)=∫₀²t(t-2)dt

　　=∫₀²(t²-2t)dt

　　=[(1/3)t³-t²]₀²

　　=(1/3)(2³-0³)-(2²-0²)

　　=8/3-4

　　=-4/3

と求められます

空欄(ア)

p(x)=x(x-2)

と置くと、
F(x)=∫₀^xp(t)dt
F'(x)は定積分で表された関数の微分ですので、
F'(x)=p(x)
=x(x-2)
=x²-2x

空欄(イ)、(ウ)

F'(x)=x(x-2)
より、x=0,2のとき、F'(x)=0となり、F(x)は極値となることがわかります。
x<0のとき、F'(x)>0なのでF(x)は単調増加
0<x<2のとき、F'(x)<0なのでF(x)は単調減少
2<xのとき、F'(x)>0なのでF(x)は単調増加
以上より、極大となるのはx=0の方となります。
F(0)=∫₀⁰t(t-2)dt
積分の範囲は0〜0となりますので、
F(0)=0

極小となるのはx=2の時となります。
F(2)=∫₀²t(t-2)dt
=∫₀²(t²-2t)dt
=[t³/3-t²]₀²

=8/3-4

=-4/3

解答：エ：2、オカ：-4、キ：3

解説：

（ア）より、

F'(x)=x²-2x

なので、F'(x)=0となるのは、x=0,2のときです。

よって、増減表は以下のようになります。

増減表より、x=2のとき、極小値を取ります。

F(2)=∫₀²t(t-2)dt

=[t³/3-t²]₀²

=8/3-4

=-4/3