共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問57 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問6)

0≦x≦2のとき、常に|t(t-2)|=-t(t-2)　なので

G(x)=∫₀^x{-t(t-2)}dt=-∫₀^xt(t-2)dt=-F(x)

 

となります

2≦xのとき、|t(t-2)|=-t(t-2)となる区間と|t(t-2)|=t(t-2)となる区間に分けて

G(x)=∫₀²{-t(t-2)}dt+∫₂^x{t(t-2)}dt

　　=-∫₀²t(t-2)dt+∫₀^x{t(t-2)}dt-∫₀²t(t-2)dt

　　=∫₀^x{t(t-2)}dt-2∫₀²t(t-2)dt

　　=F(x)-2F(2)

すでに(1)で求めている　F(2)=-4/3　を用いると

G(x)=F(x)-2・(-4/3)

　　=F(x)+3/8

と求めることが出来ます。

空欄(ク)、(ケ)

0≦t≦2のとき、t(t-2)≦0なので、その絶対値|t(t-2)|は
|t(t-2)|=-t(t-2)
t≦0、2≦tのとき、t(t-2)≧0なので、その絶対値|t(t-2)|は
|t(t-2)|=t(t-2)

空欄(コ)、(サ)

0≦x≦2なので
G(x)=∫₀^x|t(t-2)|dt
=∫₀^x{-t(t-2)}dt

=-∫₀^xt(t-2)dt

=-F(x)

2≦xなので
G(x)=∫₀^x|t(t-2)|dt
=∫₀²{-t(t-2)}dt+∫₂^xt(t-2)dt

=-∫₀²t(t-2)dt+∫₀^xt(t-2)dt-∫₀²t(t-2)dt

=-F(2)+F(x)-F(2)
=F(x)-2F(2)

空欄(ア)

p(x)=x(x-2)

と置くと、
F(x)=∫₀^xp(t)dt
F'(x)は定積分で表された関数の微分ですので、
F'(x)=p(x)
=x(x-2)
=x²-2x

空欄(イ)、(ウ)

F'(x)=x(x-2)
より、x=0,2のとき、F'(x)=0となり、F(x)は極値となることがわかります。
x<0のとき、F'(x)>0なのでF(x)は単調増加
0<x<2のとき、F'(x)<0なのでF(x)は単調減少
2<xのとき、F'(x)>0なのでF(x)は単調増加
以上より、極大となるのはx=0の方となります。
F(0)=∫₀⁰t(t-2)dt
積分の範囲は0〜0となりますので、
F(0)=0

空欄(エ)〜(カ)

極小となるのはx=2の時となります。
F(2)=∫₀²t(t-2)dt
=∫₀²(t²-2t)dt
=[t³/3-t²]₀²

=8/3-4

=-4/3

F(2)=-4/3より
G(x)=F(x)-2F(2)

=F(x)+8/3

解答：シ：t(t-2)、ス：F(x)+8/3

解説：

t=0,2で関数の正負が変わるので、

2≦xにおいて、積分区間が0→xの時、t=2で正負が変わります。

よって、（ク）、（ケ）の解答より、積分区間2→xではt(t-2)になります。

G(x)=∫₀²{-t(t-2)}dt+∫₂^xt(t-2)dt

=-∫₀²t(t-2)dt+∫₀^xt(t-2)dt-∫₀²t(t-2)dt

=F(x)-2∫₀²t(t-2)dt

ここで、（オカキ）より、∫₀²t(t-2)dt=-4/3なので、

G(x)=F(x)-2×（-4/3）

=F(x)+8/3