共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問58 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問7)

(2)より

0≦x≦2のとき　G(x)=-F(x)

2≦xのとき　G(x)=F(x)-2F(2)=F(x)+3/8

なお、x=2のときは　上の式に代入すると　G(2)=-F(2)=-3/4、下の式に代入するとG(2)=F(2)-2F(2)=F(2)=-3/4　となり一致するので、x=2の点ではどちらの式も満たす連続な関数であると分かります。

0≦x≦2の範囲ではF(x)とG(x)の増減は反転することもふまえると、(1)より、G(x)の増減表は次のようになります。

G(x)のグラフの特徴として

・連続した曲線 （F(x)は2次関数を積分した3次関数であるため）

・原点を通り単調増加なので常にy≧0

・x=2の点で微分係数が0(一瞬「平ら」)

これらを満たすとなっているものを選択肢から選びます。

空欄(ア)

p(x)=x(x-2)

と置くと、
F(x)=∫₀^xp(t)dt
F'(x)は定積分で表された関数の微分ですので、
F'(x)=p(x)
=x(x-2)
=x²-2x

空欄(イ)、(ウ)

F'(x)=x(x-2)
より、x=0,2のとき、F'(x)=0となり、F(x)は極値となることがわかります。
x<0のとき、F'(x)>0なのでF(x)は単調増加
0<x<2のとき、F'(x)<0なのでF(x)は単調減少
2<xのとき、F'(x)>0なのでF(x)は単調増加
以上より、極大となるのはx=0の方となります。
F(0)=∫₀⁰t(t-2)dt
積分の範囲は0〜0となりますので、
F(0)=0

空欄(エ)〜(カ)

極小となるのはx=2の時となります。
F(2)=∫₀²t(t-2)dt
=∫₀²(t²-2t)dt
=[t³/3-t²]₀²

=8/3-4

=-4/3

空欄(ク)、(ケ)

0≦t≦2のとき、t(t-2)≦0なので、その絶対値|t(t-2)|は
|t(t-2)|=-t(t-2)
t≦0、2≦tのとき、t(t-2)≧0なので、その絶対値|t(t-2)|は
|t(t-2)|=t(t-2)

空欄(コ)、(サ)

0≦x≦2なので
G(x)=∫₀^x|t(t-2)|dt
=∫₀^x{-t(t-2)}dt

=-∫₀^xt(t-2)dt

=-F(x)

空欄(シ)、(ス)

2≦xなので
G(x)=∫₀^x|t(t-2)|dt
=∫₀²{-t(t-2)}dt+∫₂^xt(t-2)dt

=-∫₀²t(t-2)dt+∫₀^xt(t-2)dt-∫₀²t(t-2)dt

=-F(2)+F(x)-F(2)
=F(x)-2F(2)

 

F(2)=-4/3より
G(x)=F(x)-2F(2)

=F(x)+8/3

x=0のとき、F(0)=0、F'(0)=0より

G(0)=-F(0)=0

G'(0)=-F'(0)=0 ... G(0)の傾きは0

0<x<2のとき、F'(x)<0なので、

G'(0)=-F'(0)>0 ... G(x)は単調増加
 

x=2のとき、F(2)=-4/3、F'(2)=0より

G(2)=-F(2)=4/3
(または、G(2)=F(2)+8/3=-4/3+8/3=4/3)

G'(2)=-F'(2)=0 ... G(2)の傾きは0
(または、G'(2)=(F(2)+8/3)'=F'(2)=0 ... G(2)の傾きは0)

2<xのとき、F'(x)>0なので、

G'(x)=(F(x)+8/3)'=F'(x)>0 ... G(x)は単調増加

以上より、全体的に単調増加で、x=0,2で傾きが0となるグラフとなります。

解答：選択肢の図

解説：

0≦x≦2のとき、

G(x)=-F(x)

2≦xのとき、

G(x)=F(x)+4/3

ここで、F(x)の増減表は以下の表です。

増減表より、G(0)=0、0≦x≦2でG(x)は単調増加し、G(2)=8/3になります。

その後、F(x)と同様に上昇します。

そのため、2≦xではF(x)をy軸方向に4/3だけ平衡移動したグラフになります。

これらを考慮すると、以下の増減表に従います。