共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問60 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問9)

H(x)=∫_α^x|(t-α)(t-β)|dt-∫_α^x(t-α)(t-β)dt　と

(1)・(2)の　G(x)=∫₀^x|t(t-2)|dt　、　F(x)=∫₀^xt(t-2)dt　を見比べると

 

H(x)において　α=0、β=2 としたものが(2)の議論であることが分かります。

 

これに留意して　G₀(x)=∫_α^x|(t-α)(t-β)|dt　、　F₀(x)=∫_α^x(t-α)(t-β)dt　とおくと

H(x)=G₀(x)-F₀(x)　

であります。

 

(2)では

0≦x≦2のとき　G(x)=-F(x)

2≦xのとき　G(x)=F(x)-2F(2)=F(x)+3/8

であったことと同様に

 

α≦x≦βのとき　G₀(x)=-F₀(x)　すなわち　H(x)=-F₀(x)-F₀(x)=-2F₀(x)

β≦xのとき　G₀(x)=F₀(x)-2F₀(β)　すなわち　H(x)=F₀(x)-2F₀(β)-F₀(x)=-2₀F(β) (定数)

 

よって、β≦xのときにH(x)はxの値によらず一定であるといえます。

β≦x のとき

H(x)=-2F₀(β)=-2∫_α^β(t-α)(t-β)dt　と表します。

また、関数y＝（x−α）（x−β）のグラフとx軸で囲まれた図形の面積をSとすると

S=-∫_α^β(t-α)(t-β)dt　であるため

H(x)=2S　といえます。

すなわち、H(x)は関数y＝（x−α）（x−β）のグラフとx軸で囲まれた図形の面積の2倍　となります。

空欄(ソ)

前問までの流れを踏まえると、回答が容易です。

 

|(t-α)(t-β)|は、t=α, βのとき0となり、α<βより
t≦α, β≦tのとき|(t-α)(t-β)|=(t-α)(t-β)
α≦t≦βのとき|(t-α)(t-β)|=-(t-α)(t-β)

 

また、I(x)=∫_α^x(t-α)(t-β)dtと置きます。

 

α≦x≦βのとき
H(x)=∫_α^x|(t-α)(t-β)|dt-∫_α^x(t-α)(t-β)dt
=∫_α^x{-(t-α)(t-β)}dt-∫_α^x(t-α)(t-β)dt

=-∫_α^x(t-α)(t-β)dt-∫_α^x(t-α)(t-β)dt
=-2∫_α^x(t-α)(t-β)dt

=-2I(x)
I(x)はxによって変化します。

β≦xのとき
H(x)=∫_α^x|(t-α)(t-β)|dt-∫_α^x(t-α)(t-β)dt
=∫_α^β{-(t-α)(t-β)}dt+∫_β^x(t-α)(t-β)dt-∫_α^x(t-α)(t-β)dt

=-∫_α^β(t-α)(t-β)dt+∫_α^x(t-α)(t-β)dt-∫_α^β(t-α)(t-β)dt-∫_α^x(t-α)(t-β)dt

=-2∫_α^β(t-α)(t-β)dt
=-2I(β)
I(β)は定数なのでxによって変化しません。

なお、α=0、β=2とすると、前問までの内容と一致します。

関数y=(x-α)(x-β)のグラフとx軸で囲まれた図形の面積Sを考えます。
x軸と交わるのはx=α, βなので、関数y=(x-α)(x-β)のグラフとx軸で囲まれる範囲はα≦x≦βとなります。
また、関数y=(x-α)(x-β)が下に凸の放物線であることから、α≦x≦βではx軸が上になり、関数y=(x-α)(x-β)のグラフが下になります。
よって面積Sは
S=∫_α^β{0-(t-α)(t-β)}dt
=-∫_α^β(t-α)(t-β)dt
=-I(β)

以上より、H(x)は
H(x)=-2I(β)
=2S

解答：関数y=（x-α）（x-β）のグラフとx軸で囲まれた図形の面積の2倍

解説：

α=0、β=2とすると、(2)までと同様に考えることができます。

このとき、H(x)=G(x)-F(x)と書き換えることができます。

0≦x≦2のとき、

G(x)=-F(x)

2≦xのとき、

G(x)=F(x)+4/3

これらをα、βを用いて表すと、

α≦x≦βのとき、

G(x)=-F(x)

β≦xのとき、

G(x)=F(x)+2∫_α^β（t-α）（t-β）dt

 

よって、

α≦x≦βのとき、

H(x)=G(x)-F(x)

=-2F(x)

β≦xのとき、

H(x)=F(x)+2∫_α^β（t-α）（t-β）dt-F(x)

=2∫_α^β（t-α）（t-β）dt

したがって、H(x)の値は関数y=（x-α）（x-β）のグラフとx軸で囲まれた図形の面積の2倍です。