共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問78 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問10)
問題文
問題を解答するにあたっては、必要に応じて 正規分布表 を用いてもよい。
次のように設定されているくじを考える。くじを1回引いて得られる点を得点と呼ぶ。
くじの設定
中身の見えない箱の中に
000，001，002，・・・，998，999
の番号が、それぞれ一つずつ書かれたカードが1枚ずつ合計1000枚入っている。この箱の中から無作為に1枚のカードを取り出して番号を確認し、そのカードを箱の中に戻す試行を繰り返し行う。このとき、取り出したカードに書かれた番号によって、以下に示される点が得られるものとする。
●番号が「777」ならば、2000点
●番号の下二桁が「22」ならば、800点
●番号の下一桁が「1」ならば、100点
●上記以外ならば、0点
（3）花子さんがくじを3回引いたところ、得点の合計は1000点であった。くじを3回引いて得点の合計が1000点となる確率は（ ス ）である。また、くじを3回引いて得点の合計が1000点以上となる確率は0.0036より小さい。このことから、太郎さんは「くじの設定どおりに行われておらず、（1）で求めたXの確率分布と異なるのではないか」と疑問をもった。
くじ引きをn回繰り返すとき、各回の得点を表す確率変数をW1，W2，・・・，Wnとし、これらを母平均m、母標準偏差σの母集団から無作為に抽出した大きさnの無作為標本とみなす。太郎さんは、mに対する信頼度95％の信頼区間を求めることにした。
くじを400回引いた結果、得点の平均は16.75点、標本の標準偏差は75点であった。一般に、標本の大きさが大きいときには、σの代わりに、標本の標準偏差を用いてよいことが知られている。標本の大きさ400は十分に大きいので、母平均mに対する信頼度95％の信頼区間は（ セ ）である。
以上から、母平均mに対する信頼度95％の信頼区間は、 （1） のE（X）を含んでいることが確認できた。
（ セ ）にあてはまるものを一つ選べ。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問78（数学Ⅱ・数学B（第5問） 問10） （訂正依頼・報告はこちら）
問題を解答するにあたっては、必要に応じて 正規分布表 を用いてもよい。
次のように設定されているくじを考える。くじを1回引いて得られる点を得点と呼ぶ。
くじの設定
中身の見えない箱の中に
000，001，002，・・・，998，999
の番号が、それぞれ一つずつ書かれたカードが1枚ずつ合計1000枚入っている。この箱の中から無作為に1枚のカードを取り出して番号を確認し、そのカードを箱の中に戻す試行を繰り返し行う。このとき、取り出したカードに書かれた番号によって、以下に示される点が得られるものとする。
●番号が「777」ならば、2000点
●番号の下二桁が「22」ならば、800点
●番号の下一桁が「1」ならば、100点
●上記以外ならば、0点
（3）花子さんがくじを3回引いたところ、得点の合計は1000点であった。くじを3回引いて得点の合計が1000点となる確率は（ ス ）である。また、くじを3回引いて得点の合計が1000点以上となる確率は0.0036より小さい。このことから、太郎さんは「くじの設定どおりに行われておらず、（1）で求めたXの確率分布と異なるのではないか」と疑問をもった。
くじ引きをn回繰り返すとき、各回の得点を表す確率変数をW1，W2，・・・，Wnとし、これらを母平均m、母標準偏差σの母集団から無作為に抽出した大きさnの無作為標本とみなす。太郎さんは、mに対する信頼度95％の信頼区間を求めることにした。
くじを400回引いた結果、得点の平均は16.75点、標本の標準偏差は75点であった。一般に、標本の大きさが大きいときには、σの代わりに、標本の標準偏差を用いてよいことが知られている。標本の大きさ400は十分に大きいので、母平均mに対する信頼度95％の信頼区間は（ セ ）である。
以上から、母平均mに対する信頼度95％の信頼区間は、 （1） のE（X）を含んでいることが確認できた。
（ セ ）にあてはまるものを一つ選べ。
- 6.46≦m≦27.04
- 9.34≦m≦30.66
- 9.40≦m≦24.10
- 9.71≦m≦30.29
- 10.60≦m≦22.90
- 13.85≦m≦26.15
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この過去問の解説 （3件）
01
太郎さんが実際に引いた400回の結果によると
大きさ n=400
標本平均 X-=16.75
標本標準偏差 75（nが大きいので母集団の標準偏差σの代わりに用いてよい）
となり、ここから信頼度95％の信頼区間を求めます。
一般に、信頼度95%の時の信頼区間は以下のように書けます。
X--1.96×σ/√n≦m≦X-+1.96×σ/√n
今回はn=400、X-=16.75、σ=75 なので
16.75-1.96×75/√400≦m≦16.75+1.96×75/√400
ここで、1.96×75/√400=1.96×75/20=1.96×3.75=7.35 より
信頼区間は 16.75-7.35≦m≦16.75+7.35
以上より 9.4≦m≦24.1
「くじの設定どおりに行われておらず、（1）で求めたXの確率分布と異なるのではないか」という疑問の部分は、共通テスト本番では解答に影響がありません。時間内に正確に解くためには、読み飛ばす勇気も必要かもしれません。
その上での解説になります。
花子さんの1000点という結果は、0.0036より小さい、かなり低い確率で起こることが起こっています。
このことから太郎さんは、(1)で求めたE(X)=20という平均値が正しいか疑問を持ち、標本で調べることにしました。
標本による実測値を元に、問題の通り信頼区間を計算したところ、X-=16.75を中心として 9.4≦m≦24.1 という区間を得られました。
(1)で求めたE(X)=20という値はこの信頼区間に入っているので、太郎さんの疑問は晴れたという形になります。
なお、95%の信頼区間
X--1.96×σ/√n≦m≦X-+1.96×σ/√n
に表れる1.96という数値、は標準正規分布表から2u(k)=0.95となるkの値を探すことで求められますが、計算が煩雑なので覚えることをお勧めします。
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02
母平均mに対する信頼度95％の信頼区間は
m-1.96×σ≦W≦m+1.96×σ
と表すことができます(※)。
母平均m=16.75と、標本の大きさ400が十分大きいのでσの代わりに標本の標準偏差75を用い75/√(400)で計算、
16.75-1.96×75/√(400)≦W≦16.75+1.96×75/√(400)
9.4≦m≦24.1
※ 信頼度95％の信頼区間は、標準正規分布で考えると、面積が0.95となる区間です。
z0>0側で考えると、正規分布表より、面積が0.95/2=0.475となるのはz0=1.96となります。
つまり、信頼度95％の信頼区間は、標準正規分布で考えると、-1.96≦Z≦1.96であることがわかります。
いま、
Z=(W-m)/σ
W=m+Zσ
により、Wの正規分布での母平均mに対する信頼度95％の信頼区間は
-1.96≦Z≦1.96
m-1.96×σ≦m+Zσ≦m+1.96×σ
m-1.96×σ≦W≦m+1.96×σ
母平均mに対する信頼度95％の信頼区間 m-1.96×σ≦W≦m+1.96×σ は、できれば覚えておきましょう。
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03
解答：9.40≦m≦24.10
解説：
信頼度95%の時の信頼区間は以下のように書けます。
m-1.96×σ≦m≦m+1.96×σ
ここで、m=16.75、σ=75が与えられているので、代入すると
16.75-1.96×75/√400≦m≦16.75+1.96×75/√400
⇔9.4≦m≦24.1
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