共通テスト（数学）過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問80 (数学Ⅱ・数学B（第6問）問2)

問題文

以下、（　イ　），（　ウ　），（　エ　）にあてはまるものを一つ選べ。

Oを原点とする座標空間に、2点A（0，−3，1），B（1，0，3）がある。Mを空間内の点とし、点Mを通り、直線OBと平行な直線をlとする。直線OAと直線lが交わるかどうかを考えよう。問題文の画像

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問題

共通テスト（数学）試験令和7年度（2025年度）追・試験問80（数学Ⅱ・数学B（第6問）問2）（訂正依頼・報告はこちら）

以下、（　イ　），（　ウ　），（　エ　）にあてはまるものを一つ選べ。

Oを原点とする座標空間に、2点A（0，−3，1），B（1，0，3）がある。Mを空間内の点とし、点Mを通り、直線OBと平行な直線をlとする。直線OAと直線lが交わるかどうかを考えよう。

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（ベクトルaは→aと表記します。）

空欄(ア)

位置関係は上の図のようになります。
→OQ=→OM+→MQ
=→m+t→b

図を用いずに解く場合は、→MQをO起点で分解します。
→MQ=t→b
→OQ-→OM=t→b
→OQ-→m=t→b
→OQ=→m+t→b

①より

s→a=→m+t→b

s(0, -3, 1)=(2, 3, 5)+t(1, 0, 3)
(0, -3s, s)=(2, 3, 5)+(t, 0, 3t)

(0, -3s, s)=(2+t, 3, 5+3t)

まとめ

ベクトルのそれぞれの成分を丁寧に計算しましょう。

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(i)より　sa^→=m^→+tb^→…①

m^→=（2、3、5）、a^→=（0、-3、1）、b^→=（1、0、3）なので

①に代入すると　s（0、-3、1）=（2、3、5）+t（1、0、3）

すなわち　(0、-3s、s)=(2+t、３、5+3t)　が成り立ちます

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本解説では、ベクトルaをaという太字で表記します。

解答：イ：2+t、ウ：3、エ：5+3t

解説：

（ア）より、

sa=m+tb

なので、a=（0,-3,1）、m=（2,3,5）、b=（1,0,3）を代入すると、

s（0,-3,1）=（2,3,5）+t（1,0,3）

⇔（0,-3s,s）=（2+t,3,5+3t）

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