共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問82 (数学Ⅱ・数学B（第6問） 問4)

（ベクトルaは→aと表記します。）
 

空欄(ア)

位置関係は上の図のようになります。
→OQ=→OM+→MQ

=→m+t→b

図を用いずに解く場合は、→MQをO起点で分解します。
→MQ=t→b
→OQ-→OM=t→b

→OQ-→m=t→b

→OQ=→m+t→b

空欄(イ)〜(エ)

①より

s→a=→m+t→b

s(0, -3, 1)=(2, 3, 5)+t(1, 0, 3)
(0, -3s, s)=(2, 3, 5)+(t, 0, 3t)

(0, -3s, s)=(2+t, 3, 5+3t)

空欄(オ)〜(ク)

x成分の一致より

0=2+t

t=-2

y成分の一致より

-3s=3

s=-1

②の左辺は→OP表現による交点、

右辺は→MQ表現による交点を表しています。

左辺の→OP表現にsを代入すると、

→OP=(0, -3s, s)=(0, 3, -1)

もちろん右辺の→MQ表現にtを代入しても同じ答えになります。

(i)より　sa^→=m^→+tb^→…① 

 

m^→=（2、3、5）、a^→=（0、-3、1）、b^→=（1、0、3）なので

 

①に代入すると　s（0、-3、1）=（2、3、5）+t（1、0、3）

すなわち　(0、-3s、s)=(2+t、３、5+3t)　が成り立ちます

前問より

x成分について　0=2+t　すなわち　t=-2

y成分について　-3s=3　すなわち　s=-1

問題文のとおり、これらはz成分について比較した式　s=5+3t　を満たします。よって s=-1、t=-2　といえます。

直線OAとlは交わるので、交点をPとすると

前問より、　(OP)^→=sa^→=(0、-3s、s) なので、s=-1を代入してP(0、3、-1)　となります

解答：（0,3,-1）

解説：

（オカ）の解答を②式の左辺に代入すると、

（0,-3s,s）=（0,3,-1）