共通テスト（数学）過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問87 (数学Ⅱ・数学B（第6問）問9)

問題文

以下、前問を利用して、（　ノ　），（　ハ　），（　ヒ　）にあてはまるものを一つ選べ。

Oを原点とする座標空間に、2点A（0，−3，1），B（1，0，3）がある。Mを空間内の点とし、点Mを通り、直線OBと平行な直線をlとする。直線OAと直線lが交わるかどうかを考えよう。

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問題

共通テスト（数学）試験令和7年度（2025年度）追・試験問87（数学Ⅱ・数学B（第6問）問9）（訂正依頼・報告はこちら）

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直線OAとlが交わるかどうかについて、これまでの結果から、

mをa^→、b^→、e^→で表そうとしたときに

　e^→を含まないときは交わり、

　e^→を含むときは交わりません。

c^→=(2、3、5)=-a^→-2b^→

d^→=(2、3、-5)=-a^→-2b^→-10e^→と表され、a^→、b^→、c^→、d^→の中でe^→を含むものはd^→のみなので

　d^→を含まないときは交わり

　d^→を含むときは交わりません。

よって、以下の答えを得ます

(Ⅰ)m^→=13c^→のときは交わる

(Ⅱ)m^→=b^→+9d^→のときは交わらない

(Ⅲ)m^→=8a^→-11d^→のときは交わらない

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解説では、ベクトルaをaと書きます。

解答：（ノ）：交わる、（ハ）：交わらない、（ヒ）：交わらない

解説：

（セ）～（チ）より、

c=-a+2b

（セ）～（タ）、（ト）～（ニ）より、

d=-a+2b-10e

です。

（2）（ⅲ）より、eが含まれている場合、直線OAと直線lは、交わりません。

すなわち、dが含まれている場合、直線OAと直線lは交わりません。

したがって、

（Ⅰ）はdが含まれていないので、交わります。

（Ⅱ）はdが含まれているので、交わりません。

（Ⅲ）はdが含まれているので、交わりません。

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