大学入学共通テスト（数学）過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問89 (数学Ⅱ・数学B（第7問）問2)

問題文

（1）複素数平面上で方程式

|z−1|＋|z＋1|＝4・・・・・①

を満たす点z全体がどのような図形かを考える。

（ⅱ）x、yを実数とし、z＝x＋yiとおくと、方程式①は

√｛（x−1）²＋（　イ　）²｝＝4−√｛（　ウ　）²＋y²｝

と変形できる。

両辺を2乗して計算すると

（　エ　）＝2√｛（　ウ　）²＋y²｝

となる。

さらに両辺を2乗して計算すると

（　オ　）＝1

となる。

（　イ　），（　ウ　）にあてはまるものを一つ選べ。

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問題

大学入学共通テスト（数学）試験令和7年度（2025年度）追・試験問89（数学Ⅱ・数学B（第7問）問2）（訂正依頼・報告はこちら）

イ：（x−1）　　ウ：（y＋1）
イ：x　　ウ：（y−1）
イ：（x＋1）　　ウ：y
イ：（y−1）　　ウ：（x−1）
イ：y　　ウ：（x＋1）
イ：（y＋1）　　ウ：x

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この過去問の解説（2件）

問題文にしたがって z = x + yi とおくと、
z - 1 = x - 1+ yi
z + 1 = x + 1 +yi
よって、|z +1| + |z - 1| = 4 は x, y で表すと次式になります。
√{(x-1)² + y²} +√{(x+1)² +y²} =4
⇔√{(x-1)² + y²} =4 - √{(x+1)² + y²}

イ：y　ウ：(x+1) の選択肢が設問（イ）（ウ）の解答となります。

選択肢5. イ：y　　ウ：（x＋1）

z = x + yi をz - 1およびz +1に代入し、複素数の絶対値の定義通りに計算します。
続いて、問題文の式の形に合わせて絶対値の1つを右辺に移項すれば解答が得られます。

まとめ

z = x + yi の時、x と y を使って絶対値を表すと |z| = √(x²+y²) です。

実部の2乗と虚部の2乗（i は含めずに）を足した値の平方根が複素数の絶対値になります。
実数の xy 平面上での2点間の距離と同様に考える事ができます。
本設問では |z + 1| などを計算するので、z = (x +1) +yi のようにして絶対値を計算します。
落ち着いて計算すれば解答が得られます。

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解答：（イ）：y、（ウ）：x+1

解説：

|z-1|=√{（x-1）²+y²}

|z+1|=√{（x+1）²+y²}

|z-1|+|z+1|=4

⇔√{（x-1）²+y²}+√{（x+1）²+y²}=4

⇔√{（x-1）²+y²}=4-√{（x+1）²+y²}

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