大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問92 (数学Ⅱ・数学B（第7問） 問5)

前問（オ）から、式 (x²/4) + (y²/3) = 1 が得られています。
この事から、z が複素平面上で描く図形は楕円であると分かります。
（最初の式|z +1| + |z - 1| = 4からも楕円であると実は分かります。）
長軸の長さは公式から直ちに分かりますが、ここでは計算してみましょう。

焦点の座標は式から判断できます。
最初の式|z +1| + |z - 1| = 4 を見ると、
点 1 と点 -1 からの距離の和が 4 である事が分かります。
これは楕円の焦点が点 1 と点 -1である事を示しています。
長軸は2つの焦点を通るので実軸上にある事が分かります。

(x²/4) + (y²/3) = 1 に y =0 を代入すると、 
x²=4 ⇔ x = 2 または -2 となり、
楕円と長軸の交点は複素数で言うと点 2 と点 -2 です。
よって、長軸の長さは 2 -(-2) =4 となります。

「2点1，−1を焦点とし、長軸の長さが4の楕円」の選択肢が設問（カ）の解答となります。

前問（オ）

設問（エ）の計算結果の式より、
x +4 =2√{(x+1)² + y²}
問題文にしたがって両辺を2乗すると、
x²+8x+16=4x²+8x+4+4y²
⇔ 3x² + 4y² = 12
⇔ (1/4)x² + (1/3)y² = 1

「(x²/4) + (y²/3)」の選択肢が設問（オ）の解答となります。

設問（エ）

設問（イ）（ウ）より、
√{(x-1)² + y²} = 4 - √{(x+1)² +y²}
問題文にしたがって両辺を2乗すると、
(x-1)² + y² = 16 +(x+1)² +y² - 8√{(x+1)² + y²}
⇔ -2x +1 = 16 +2x +1 - 8√{(x+1)² + y²}
⇔16 +4x = 8√{(x+1)² + y²}
⇔ x +4 =2√{(x+1)² + y²}

 

「x+4 」の選択肢が設問（エ）の解答となります。

（右辺の（ウ）は x+1 です。）

設問（イ）（ウ）

問題文にしたがって z = x + yi とおくと、
z - 1 = x - 1+ yi
z + 1 = x + 1 +yi
よって、|z +1| + |z - 1| = 4 は x, y で表すと次式になります。
√{(x-1)² + y²} +√{(x+1)² +y²} =4
⇔√{(x-1)² + y²} =4 - √{(x+1)² + y²}

 

イ：y　ウ：(x+1) の選択肢が設問（イ）（ウ）の解答となります。

解答：2点1,-1を焦点とし、長軸の長さが4の楕円

解説：

（オ）の解答より、

x²/2²+y²/（√3）²=1

2>√3より、

焦点は、（√{2²-（√3）²},0）,（-√{2²-（√3）²},0）

すなわち、（1,0）,（-1,0）

これは複素数平面において、点1、点-1であり、長軸の長さは4です。

したがって、2点1,-1を焦点とし、長軸の長さが4の楕円です。