共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問93 (数学Ⅱ・数学B（第7問） 問6)
問題文
（2） 前問 より、点zを複素数平面上における（ カ ）上の点であるとし、点wは、点zを原点を中心にπ／4だけ回転した点とする。このとき、点wが満たす方程式を求めたい。
点wと点zは、関係式（ キ ）を満たす。また、点zは複素数平面上で方程式①を満たす。したがって、点wは方程式（ ク ）＝4を満たす。
（ キ ）にあてはまるものを一つ選べ。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問93（数学Ⅱ・数学B（第7問） 問6） （訂正依頼・報告はこちら）
（2） 前問 より、点zを複素数平面上における（ カ ）上の点であるとし、点wは、点zを原点を中心にπ／4だけ回転した点とする。このとき、点wが満たす方程式を求めたい。
点wと点zは、関係式（ キ ）を満たす。また、点zは複素数平面上で方程式①を満たす。したがって、点wは方程式（ ク ）＝4を満たす。
（ キ ）にあてはまるものを一つ選べ。
- z＝（π／4）＋w
- w＝（π／4）＋z
- z＝（π／4）w
- w＝（π／4）z
- z＝cos（π／4）＋i sin（π／4）＋w
- w＝cos（π／4）＋i sin（π／4）＋z
- z＝｛cos（π／4）＋i sin（π／4）｝w
- w＝｛cos（π／4）＋i sin（π／4）｝z
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この過去問の解説 （2件）
01
問題文より、
「点wは、点zを原点を中心にπ／4だけ回転した点」です。
すなわち、ド・モアブルの定理より、
絶対値が 1 で偏角が π/4 （45°）の複素数を z に掛ければよい事になります。
絶対値が 1 で偏角が π/4 の複素数は、
cos (π/4) + i sin (π/4) です。
よって、
「w＝ {cos (π/4) + i sin (π/4) }z 」の選択肢が設問（キ）の解答となります。
ド・モアブルの定理を覚えていると、
直ちに w＝ {cos (π/4) + i sin (π/4) }z であると判定する事もできます。
本設問の z は前の設問からの z （|z +1| + |z - 1| = 4 を満たす z）ですが、
本設問に限って言えば z がそれ以外の複素数でも、
「点wは、点zを原点を中心にπ／4だけ回転した点」という事であれば、
w＝ {cos (π/4) + i sin (π/4) }z という関係式が成立します。
再び複素数の内容に戻った設問です。
一見分かりにくい設問かもしれませんが、
ド・モアブルの定理について問われています。
u = r(cos θ + i sin θ) と v= s(cos ω + i sin ω) に対して、
uv = rs{cos(θ + ω) + i sin(θ + ω)} が成立します。
（この定理は三角関数の加法定理から証明できます。）
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02
解答：w=（cos（π/4）+isin（π/4））z
解説：
点wは点zを原点を中心にπ/4だけ回転した点なので、
w=（cos（π/4）+isin（π/4））z
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