大学入学共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問94 (数学Ⅱ・数学B（第7問） 問7)

最初の式 |z +1| + |z - 1| = 4 と、
前問（キ）の結果 w＝ {cos (π/4) + i sin (π/4)}z により、
楕円の焦点であった点1と点-1も π/4 (45°)回転しているはずです。
したがって、w の焦点は 1/(√2) + i/(√2)　および -1/(√2) - i/(√2) であり、
その新たな焦点からの和の合計が 4 です。

よって、少し長い式になりますが、
|w - { (√2/2 ) + (√2/2) i ｝|＋|w+{(√2/2)＋(√2/2) i }| =4が成立します。

「 |w - { (√2/2 ) + (√2/2) i ｝|＋|w+{(√2/2)＋(√2/2) i }| 」の選択肢が設問（ク）の解答となります。

前問（キ）

問題文より、
「点wは、点zを原点を中心にπ／4だけ回転した点」です。
すなわち、ド・モアブルの定理より、
絶対値が 1 で偏角が π/4 （45°）の複素数を z に掛ければよい事になります。

絶対値が 1 で偏角が π/4 の複素数は、
cos (π/4) + i sin (π/4) です。

 

よって、
「w＝ {cos (π/4) + i sin (π/4) }z 」の選択肢が設問（キ）の解答となります。

解答：|w-{（√2/2）+（√2/2）i}|+|w+{（√2/2）+（√2/2）i}|=4

解説：

①式より、

|z-1|+|z+1|=4

⇔|z-1|+|z-（-1）|=4

上式の下線部は焦点を示しており、右辺が長軸の長さなので、

楕円の形は変わらず、焦点が原点を中心にπ/4だけ回転します。

1×{cos（π/4）+isin（π/4）}=（√2/2）+（√2/2）i

（-1）×{cos（π/4）+isin（π/4）}=-（√2/2）-（√2/2）i

よって、

|w-{（√2/2）+（√2/2）i}|+|w+{（√2/2）+（√2/2）i}|=4