共通テスト（数学） 過去問
令和7年度（2025年度）追・試験
問95 (数学Ⅱ・数学B（第7問） 問8)
問題文
（3） 前問 より、点zを複素数平面上における（ カ ）上の点であるとし、点αは、点zを原点を中心に一定の角θだけ回転した点とする。このとき、次の選択肢のうち、θを適切に定めることにより、点αが満たす方程式となるのは（ ケ ）である。
（ ケ ）にあてはまるものを一つ選べ。
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問題
共通テスト（数学）試験 令和7年度（2025年度）追・試験 問95（数学Ⅱ・数学B（第7問） 問8） （訂正依頼・報告はこちら）
（3） 前問 より、点zを複素数平面上における（ カ ）上の点であるとし、点αは、点zを原点を中心に一定の角θだけ回転した点とする。このとき、次の選択肢のうち、θを適切に定めることにより、点αが満たす方程式となるのは（ ケ ）である。
（ ケ ）にあてはまるものを一つ選べ。
- |α−1|＋|α＋1|＝6
- |α−1|＋|α−3|＝4
- |α−（1／2）|＋|α＋（1／2）|＝4
- |α−（1＋√3i）|＋|α＋（1−√3i）|＝4
- |α−√2|＋|α−√2i|＝4
- |α−i|＋|α＋i|＝4
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この過去問の解説 （2件）
01
最初の式 |z +1| + |z - 1| = 4 から、楕円の焦点は点１と点-1です。
原点からの距離が等しい焦点である点１と点-1を同時に回転させるので、
回転させた後の焦点の絶対値はそれぞれ 1 である必要があります。
また、2 つの焦点と原点は同一直線上にある必要もあります。
次に、2つの焦点からの和は 4 になるので、
式は |z - u| +|z - v| = 4 の形である必要があります。
それらを満たす式は、
選択肢の中では |α - i | + |α + i | = 4 のみです。
「|α - i | + |α + i | = 4」が選択肢が設問（ケ）の解答となります。
最初の式 |z +1| + |z - 1| = 4 から、楕円の焦点は点１と点-1です。
|α - i | + |α + i | = 4 の式の α は、z を π/2 (90°) あるいは (3/2)π (270°) 回転させた複素数を表します。
焦点は実軸上から虚軸上に移った事になります。
前問に引き続き、やや分かりにくい設問かもしれません。
楕円を回転させる前に戻って、改めて何かの角度 θ だけ回転させるた時にあり得る式はどれか、という問題です。
どんな角度で回転させても楕円の形は変わらず、焦点も同時に回転する事を考えると解答が見えてきます。
原点を中心に回転させるだけなので絶対値は変化しない事に注意して、条件を満たす選択肢を探します。
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02
解答：|α−i|＋|α＋i|＝4
解説：
（ク）より、
長軸の長さは4であり、焦点と原点の距離は1です。
長軸の長さが6なので不適です。
焦点が2点1,3であり、3は原点からの距離が3なので不適です。
焦点が2点1/2,-1/2であり、いづれも原点からの距離が1/2なので不適です。
焦点が2点1+√3i,-1-√3iであり、いづれも原点からの距離が2なので不適です。
焦点が2点√2,-√2であり、いづれも原点からの距離が√2なので不適です。
焦点が2点i,-iであり、いづれも原点からの距離が1なので正解です。
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