共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）本試験
問5 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問〔1〕（2）（カ・キ）)

(注)

集合Xに対する補集合を、X ̅と表記しています。

2,3,5,7は素数であること、
　　4＝2²　6＝2×3　8＝2³　9＝3²
と素因数分解できることから、

　　A＝{k│k∈U,kとaは1以外の正の公約数を持つ}
は、以下のようになります。

・a＝2,4,8のとき

　aの素因数は2しかないため、Aは2の倍数

　→　A＝{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}

　　　(a＝4のときは、(1)で答えていた)
 

・a＝3,9のとき

　aの素因数は3しかないため、Aは3の倍数

　→　A＝{3,6,9,12,15,18}

　　　(a＝3のときは、(1)で答えていた)
 

・a＝5のとき

　aの素因数は5しかないため、Aは5の倍数

　→　A＝{5,10,15,20}
 

・a＝6のとき

　aの素因数は2,3であるため、Aは「2の倍数または3の倍数」

　→　A＝{2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20}

　　　(a＝6のときは、(2)(ⅰ)の解説で確認済)
 

・a＝7のとき

　aの素因数は7しかないため、Aは7の倍数

　→　A＝{7,14}

同様に、

　　B＝{k│k∈U,kとbは1以外の正の公約数を持つ}

は、

　　・b＝2,4,8のとき　　B＝{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
　　・b＝3,9のとき　　   B＝{3,6,9,12,15,18}

　　・b＝5のとき　　　   B＝{5,10,15,20}
　　・b＝6のとき　　　   B＝{2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20}
　　・b＝7のとき　　　   B＝{7,14}

となります。単に、aをbに置き換えて、集合Aを集合Bに対応させただけですね。

A∩B ̅={5}なので、
　　・集合Aの要素として、5が含まれている
ことが言えます。上のベン図も参照してみてください。

集合Aの要素として、5が含まれているものは、
　　a＝5のときの、A＝{5,10,15,20}
しかありません。また、上のベン図から、
　　・集合B ̅の要素として、5が含まれているが、10,15,20は含まれていない
ことになります。このとき、

　　・集合Bの要素として、5が含まれておらず、10,15,20は含まれている
ことになります。この条件を満たすのは、
　　b＝6のときの、B＝{2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20}
となります。

以下の解説では、BバーをB^-と表記します。

条件は、A∩B^⁻＝｛5｝です。

これは、Aには入っているが、Bには入っていない数が5だけであるという意味です。

前問までと同じく、

A＝｛k｜k∈U，kとaは1以外の正の公約数をもつ｝

B＝｛k｜k∈U，kとbは1以外の正の公約数をもつ｝

という条件を使って考えます。

集合Aにある数kが入るためには、kとaが1以外の正の公約数をもつ必要があります。

また、前問では、

ある数が集合Aに入るかどうかは、その数とaが2以上の共通の約数をもつかを調べればよい、と考えました。