共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）本試験
問14 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問〔2〕（2）（ii）（ヒフ・ヘ）)

前問では、

同じ点から円に引いた2本の接線の長さは等しくなる、という性質を使いました。

また、四角形PMOKについて、

S＝（AB・AD＋BC・CD）／2×sinA

を使うことで、接線の長さをt、円の半径を6とすると、

四角形の面積＝6tであり、

6t＝1／2×（t²＋36）×sinP

として角の正弦を求めることができます。

さらに（i）では、求めたsinPとsinQから正弦定理を使い、

PR：QR＝sinQ：sinP

として辺の比を求めました。

今回は、この方法をそのまま使います。

(ⅱ)では、(ⅰ)に書かれている参考図は、全く参考になりません。

(ⅰ)の問題文をよく読み直すと、

「2直線PK,QLの交点Rは直線PQに関して点Oと同じ側にある」とあります。

しかし、(ⅱ)の問題文を見てみると、

「2直線PK,QLの交点Rは、直線PQに関して点Oと反対側にある」とあり、

(ⅰ)とは、状況が異なりますね。

従って、この問題を解くとき、問題文の内容から、自ら図を描かなければいけません。

   四角形PMOK＝△PKO＋△PMO

　　＝△PKO＋△PKO　　(△PKO≡△PMOより)

　　＝2△PKO
　　＝2×((1/2)・PK・OK)

　　＝PK・OK
　　＝4√2×6
　　＝24√2
　四角形QLOM＝△QLO＋△QMO
　　＝△QLO＋△QLO　　(△QLO≡△QMOより)

　　＝2△QLO

　　＝2×((1/2)・QL・OL)

　　＝QL・OL
　　＝3√2×6
　　＝18√2
です。(ⅰ)と同様に、(1)の①を利用すると、
　四角形PMOK＝((PK・PM+OK・OM)/2)sin⁡∠KPM
　　＝((4√2・4√2+6・6)/2)sin⁡∠KPM
　　＝34sin⁡∠KPM

　四角形QLOM＝((QL・QM+OL・OM)/2)sin⁡∠LQM
 　　＝(3√2・3√2+6・6)/2)sin⁡∠LQM
 　　＝27sin⁡∠LQM
となりますので、

　・四角形PMOKの面積から

　　24√2＝34sin⁡∠KPM

　　sin⁡∠KPM＝(12√2)/17
　

　・四角形QLOMの面積から

　　18√2＝27sin⁡∠LQM

　　sin⁡∠LQM＝(2√2)/3
となります。

△PQRで正弦定理から、
　　QR/sin⁡∠QPR＝PR/sin⁡∠PQR

　　QR/sin⁡(180°－∠KPM)＝PR/sin⁡(180°－∠LQM) 
　　QR/sin⁡∠KPM＝PR/sin⁡∠LQM 
　　(sin(180°－θ)＝sinθより) 

　　QR/((12√2)/17)＝PR/((2√2)/3)
　　 ((2√2)/3)QR＝((12√2)/17)PR
　　PR：QR＝(2√2)/3：(12√2)/17
　　PR：QR＝17：18
となります。
RL＝yとしましょう。円の接線の性質から、RK＝yです。
PR：QR＝17：18より、
　　PR：QR＝17：18

　　(RK－PK)：(RL－QL)＝17：18

　　(y－4√2)：(y－3√2)＝17：18
　　18(y－4√2)＝17(y－3√2)
　　y＝21√2
となります。従って、
　　RL=21√2
となります。