共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）本試験
問20 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問〔1〕（2）（ii）（シ）)
問題文
〔1〕2次関数の最大値、最小値について考えよう。
（1）2次関数y＝2x2－8x＋5は0≦x≦3において，x＝（ ア ）で
最大値（ イ ）をとり、x＝（ ウ ）で最小値（ エオ ）をとる。
（2）太郎さんと花子さんは、（1）を振り返って2次関数の最大値、最小値について話している。
太郎：（1）では、2次関数とxのとり得る値の範囲が与えられて、最大値と最小値を求めることができたね。
花子：じゃあ、xの値の範囲とそのときの最大値と最小値に関する条件が与えられている場合に、条件を満たす2次関数を求めることはできるのかな。具体的な例で考えてみよう。
（ii）2次関数y＝g（x）は次の条件2を満たすとする。
＜条件2＞
aを正の定数とし、y＝g（x）の0≦x≦aにおける最大値をM、最小値をmとすると
・0＜a＜3ならば、m＞−2である。
・a≧3ならば、m＝−2である。
・0＜a≦6ならば、M＝7である。
・a＞6ならば、M＞7である。
このとき、2次関数y＝g（x）のグラフは（ サ ）の放物線であり
g（x）＝（ シ ）である。
（ シ ）にあてはまるものを選べ。
（1）2次関数y＝2x2－8x＋5は0≦x≦3において，x＝（ ア ）で
最大値（ イ ）をとり、x＝（ ウ ）で最小値（ エオ ）をとる。
（2）太郎さんと花子さんは、（1）を振り返って2次関数の最大値、最小値について話している。
太郎：（1）では、2次関数とxのとり得る値の範囲が与えられて、最大値と最小値を求めることができたね。
花子：じゃあ、xの値の範囲とそのときの最大値と最小値に関する条件が与えられている場合に、条件を満たす2次関数を求めることはできるのかな。具体的な例で考えてみよう。
（ii）2次関数y＝g（x）は次の条件2を満たすとする。
＜条件2＞
aを正の定数とし、y＝g（x）の0≦x≦aにおける最大値をM、最小値をmとすると
・0＜a＜3ならば、m＞−2である。
・a≧3ならば、m＝−2である。
・0＜a≦6ならば、M＝7である。
・a＞6ならば、M＞7である。
このとき、2次関数y＝g（x）のグラフは（ サ ）の放物線であり
g（x）＝（ シ ）である。
（ シ ）にあてはまるものを選べ。
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問題
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共通テスト（数学）試験 令和8年度（2026年度）本試験 問20（数学Ⅰ・数学A（第2問） 問〔1〕（2）（ii）（シ）） （訂正依頼・報告はこちら）
〔1〕2次関数の最大値、最小値について考えよう。
（1）2次関数y＝2x2－8x＋5は0≦x≦3において，x＝（ ア ）で
最大値（ イ ）をとり、x＝（ ウ ）で最小値（ エオ ）をとる。
（2）太郎さんと花子さんは、（1）を振り返って2次関数の最大値、最小値について話している。
太郎：（1）では、2次関数とxのとり得る値の範囲が与えられて、最大値と最小値を求めることができたね。
花子：じゃあ、xの値の範囲とそのときの最大値と最小値に関する条件が与えられている場合に、条件を満たす2次関数を求めることはできるのかな。具体的な例で考えてみよう。
（ii）2次関数y＝g（x）は次の条件2を満たすとする。
＜条件2＞
aを正の定数とし、y＝g（x）の0≦x≦aにおける最大値をM、最小値をmとすると
・0＜a＜3ならば、m＞−2である。
・a≧3ならば、m＝−2である。
・0＜a≦6ならば、M＝7である。
・a＞6ならば、M＞7である。
このとき、2次関数y＝g（x）のグラフは（ サ ）の放物線であり
g（x）＝（ シ ）である。
（ シ ）にあてはまるものを選べ。
（1）2次関数y＝2x2－8x＋5は0≦x≦3において，x＝（ ア ）で
最大値（ イ ）をとり、x＝（ ウ ）で最小値（ エオ ）をとる。
（2）太郎さんと花子さんは、（1）を振り返って2次関数の最大値、最小値について話している。
太郎：（1）では、2次関数とxのとり得る値の範囲が与えられて、最大値と最小値を求めることができたね。
花子：じゃあ、xの値の範囲とそのときの最大値と最小値に関する条件が与えられている場合に、条件を満たす2次関数を求めることはできるのかな。具体的な例で考えてみよう。
（ii）2次関数y＝g（x）は次の条件2を満たすとする。
＜条件2＞
aを正の定数とし、y＝g（x）の0≦x≦aにおける最大値をM、最小値をmとすると
・0＜a＜3ならば、m＞−2である。
・a≧3ならば、m＝−2である。
・0＜a≦6ならば、M＝7である。
・a＞6ならば、M＞7である。
このとき、2次関数y＝g（x）のグラフは（ サ ）の放物線であり
g（x）＝（ シ ）である。
（ シ ）にあてはまるものを選べ。
- 2x2－12x＋16
- －2x2＋12x－16
- 2x2－12x－16
- －2x2＋12x－20
- x2－7
- —x2＋7
- x2－6x＋7
- —x2＋6x－7
- 2x2－9x＋7
- －2x2＋3x＋7
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この過去問の解説 （2件）
01
前問では、
と求めました。
今回は、この頂点を使ってg（x）の式を求めます。
頂点が（3，－2）なので、g（x）＝A（x－3）²－2と表せます。
ここでAは正の数です。
次に、0＜a≦6ならば、M＝7という条件を使います。
a＝3とすると、xの範囲は、0≦x≦3です。
この範囲では、x＝3が頂点なので最小値－2をとります。
したがって、最大値はもう一方の端であるx＝0でとります。
条件より最大値は7なので、g（0）＝7です。
よって、
7＝A（0－3）²－2
7＝9A－2
9＝9A
A＝1
となります。
したがって、
g（x）＝（x－3）²－2
です。
これを展開すると、
g（x）＝x²－6x＋9－2
＝x²－6x＋7
となります。
求めた式は、g（x）＝x²－6x＋7です。
平方完成すると、
g（x）＝（x－3）²－2
となります。
したがって、頂点は、（3，－2）です。
まず最小値について確認します。
0＜a＜3では、範囲0≦x≦aは頂点x＝3まで届きません。
そのため、m＞－2です。
a≧3になると、範囲にx＝3が含まれるので、m＝－2となります。
次に最大値を確認します。
x＝0では、g（0）＝7です。
また、x＝6では、
g（6）＝36－36＋7＝7
です。
放物線はx＝3を軸として左右対称なので、0≦x≦6では、g（x）≦7となります。
したがって、0＜a≦6ではM＝7です。
一方、a＞6ではx＝6より右側まで範囲が広がります。
下に凸の放物線なので、x＞6では値が7より大きくなります。
したがって、
a＞6ならばM＞7
となり、条件2をすべて満たします。
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02
0≦x≦aにおいて、
・0＜a≦6のときに、最大値M＝7
・6＜aのときに、最大値M＞7
であり、a＝6の前後で最大値Mが変化しています。
6＜aでは、Mは7よりも大きくなることから、
放物線：y＝g(x)は下に凸であることがわかります。
0≦x≦aにおいて、
・0＜a≦3のときに、最小値m＞－2
・3≦aのときに、最小値m＝－2
であり、a＝3の前後で最小値mが変化しています。
a＜3では、mは－2よりも大きいことから、
放物線：y＝g(x)の軸はx＝3であることがわかります。
従って、放物線：y＝g(x)のグラフは上図のようになります。
y＝g(x)の頂点は(3,－2)であるので、
g(x)＝b(x－3)2－2
と表すことができます。
但し、下に凸な放物線ですので、b＞0であることに注意しましょう。
この放物線は、(6,7)を通るので、
7＝b(6－3)2－2
7＝9b－2
b＝1
となります。b＞0を満たしています。
求める放物線の式は、
g(x)＝(x－3)2－2
＝x2－6x＋7
となります。
※
「本当？」と思った方は、メモ用紙(あるいは付箋)を2枚用意しましょう。
メモ用紙①の右端を、上図のx＝0(y軸)に揃えて固定します。
メモ用紙②の左端を、x＝aとして考えましょう。
すると、メモ用紙①とメモ用紙②の間にできた空間を、
0≦x≦aと見なすことができます。
メモ用紙②を左右に動かしてみると、
・0＜a≦6では、x＝0のときに最大値をとる
6＜aでは、x＝aのときに最大値をとる
・0＜a≦3では、x＝aのときに最小値をとる
3＜aでは、x＝3のときに最小値をとる
ことがわかります。ぜひ、お試しください。
なお、実際の試験会場には、メモ用紙を用意するわけにはいきません。
受験する際は、鉛筆を数本用意して臨むはずですので、
メモ用紙を鉛筆で代用して確認しましょう。
g(x)＝x2－6x＋7が正解です。
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