共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）本試験
問21 (数学Ⅰ・数学A（第2問） 問〔1〕（3）（ス・セ）)

前問では、

区間0≦x≦aを広げたとき、最大値や最小値がどこで変化するかに注目して、2次関数の頂点や式を求めました。

今回も同じように、区間を動かしたときに最大値Mの条件が切り替わる場所に注目します。

b＜1ではM＜0だったものが、b＝1になるとM≧0になります。

このとき区間の右端は、

x＝b＋1＝2

です。

したがって、x＝2がx軸との共有点です。

同様に、b＝7まではM≧0ですが、b＞7になるとM＜0になります。

b＝7のとき区間の左端は、

x＝b－1＝6

です。

したがって、x＝6もx軸との共有点になります。

まず、2次関数y＝h(x)が、

下に凸な放物線なのか、上に凸な放物線なのかを決定しなければいけません。

結論から言ってしまえば、上に凸な放物線となります。

b－1≦x≦b＋1において、y=h(x)の最大値は、
 　・1≦b≦7のときに、最大値M≧0
 　・b＜1,7＜bのときに、最大値M＜0
とあります。

bの値によって、最大値の正負が変化していますので、

この放物線y＝h(x)は、x軸と異なる2点で交わります。

また、b＜1,7＜bのときに、最大値M＜0であるということは、

「bが極端に小さな数字、bが極端に大きな数字でも、

  b－1≦x≦b＋1での最大値がマイナスである」

ということを示しています。

上に凸な放物線であれば、放物線の両端は－∞となりますので、

y＝h(x)は上に凸な放物線であると決定できます。

上図の(ⅰ)または(ⅱ)のような状態であれば、最大値Mは、M＜0となります。

y＝h(x)とx軸との交点のx座標をα,βとしたとき(但し、α＜β)、

x座標の位置関係に着目すれば、
　　(ⅰ)b＋1＜α、すなわち、 b＜α－1
　　(ⅱ)b－1＞β、すなわち、 β＋1＜b
のいずれかになります。つまり、

　　b＜α－1,β＋1＜b

となります。b＜1,7＜bと一致することから、
 　α－1＝1,β＋1＝7
となります。これを解くと、

 　α＝2,β＝6

です。

α,βは、y＝h(x)とx軸との交点のx座標でしたので、

y＝h(x)とx軸との交点のx座標は2,6となります。