共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）本試験
問29 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問（1）（イ・ウ）)
問題文
空間内に、AB＝AC＝10，BC＝12である二等辺三角形ABCがある。ΔABCの内心をIとし、ΔIBCの重心をGとする。Gを通り、ΔABCを含む平面と垂直な直線上に、Gと異なる点Pがある。このとき、ΔABCを底面とする三角錐PABCについて考えよう。
直線AIと辺BCの交点をDとし、また、辺PA上の点Eは、∠PED＝∠PIDを満たしているとする。なお、以下の問題において比を解答する場合は、最も簡単な整数の比で答えよ。
（1）直線BIが（ ア ）ことに注意すると、ΔABDにおいて線分AIとIDの長さの比を求めることができる。よって、線分ADの長さに着目すると
AI＝（ イ ），ID＝（ ウ ）
であることがわかる。
また、4点E，I，D，（ エ ）は同一円周上にある。
よって
AE・AP＝（ オカ ）
であることがわかる。
（ イ ）（ ウ ）にあてはまるものを選べ。
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問題
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共通テスト（数学）試験 令和8年度（2026年度）本試験 問29（数学Ⅰ・数学A（第3問） 問（1）（イ・ウ）） （訂正依頼・報告はこちら）
空間内に、AB＝AC＝10，BC＝12である二等辺三角形ABCがある。ΔABCの内心をIとし、ΔIBCの重心をGとする。Gを通り、ΔABCを含む平面と垂直な直線上に、Gと異なる点Pがある。このとき、ΔABCを底面とする三角錐PABCについて考えよう。
直線AIと辺BCの交点をDとし、また、辺PA上の点Eは、∠PED＝∠PIDを満たしているとする。なお、以下の問題において比を解答する場合は、最も簡単な整数の比で答えよ。
（1）直線BIが（ ア ）ことに注意すると、ΔABDにおいて線分AIとIDの長さの比を求めることができる。よって、線分ADの長さに着目すると
AI＝（ イ ），ID＝（ ウ ）
であることがわかる。
また、4点E，I，D，（ エ ）は同一円周上にある。
よって
AE・AP＝（ オカ ）
であることがわかる。
（ イ ）（ ウ ）にあてはまるものを選べ。
- イ：3 ウ：5
- イ：4 ウ：4
- イ：5 ウ：3
- イ：6 ウ：2
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この過去問の解説 （2件）
01
前問で、
を確認しました。
AB＝AC＝10なので、△ABCはAを頂点とする二等辺三角形です。
また、AIは∠BACの二等分線です。
二等辺三角形では、頂角の二等分線は底辺BCを2等分するので、
BD＝DC＝12÷2＝6
です。
さらに、ADはBCと垂直になります。
したがって、直角三角形ABDで三平方の定理を使うと、
AD²＝AB²－BD²
＝10²－6²
＝100－36
＝64
です。
よって、AD＝8です。
前問より、BIは∠ABCを2等分します。
DはBC上にあるので、∠ABD＝∠ABCです。
したがって、△ABDではBIが∠ABDの二等分線になっています。
角の二等分線の定理より、AI：ID＝AB：BDです。
AB＝10、BD＝6なので、
AI：ID＝10：6＝5：3
となります。
AI：ID＝5：3
であり、
AI＋ID＝AD＝8
です。
比の合計は、
5＋3＝8
です。
ADの長さも8なので、比の1にあたる長さは1です。
したがって、
AI＝5
ID＝3
となります。
よって、イ＝5、ウ＝3です。
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02
内心Iは、△ABCの内角の二等分線の交点です。
△ABCはAB＝AC＝10とする二等辺三角形です。このとき、
△ABD≡△ACD
となります。
・AB＝AC(＝10)
・AD＝AD (共有)
・∠BAD＝∠CAD (線分ADは∠BACの二等分線)
であり、2組の辺の長さと、その間の角の大きさがそれぞれ等しいためです。
これにより、
∠ADB＝∠ADC
であり、
∠ADB＝90°
となります。また、
BD＝CD
ですので、
BD＝12÷2＝6
となります。△ABDに対して、三平方の定理から、
AD＝√(AB2－BD2)
＝√(102－62)
＝8
である。
直線BIは、∠ABCの内角の二等分線ですので、
AI：ID＝BA：BD
＝10：6
＝5：3
となります。従って、
AI＝8×(5/(5+3))＝5
ID＝8×(3/(5+3))＝3
と計算できます。
AI＝5、ID＝3が正解です。
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