共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）本試験
問31 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問（1）（オカ）)

前問までで、

AB＝AC＝10、BC＝12の二等辺三角形なので、

BD＝DC＝6

となります。

三平方の定理より、AD＝8です。

また、BIは∠ABDを2等分するので、角の二等分線の定理から、

AI：ID＝AB：BD

＝10：6＝5：3

となります。

AI＋ID＝AD＝8なので、

AI＝5、ID＝3

です。

さらに、

∠PED＝∠PIDより、同じ線分PDを見込む角が等しいため、

E、I、D、Pの4点は同一円周上にあります。

と確認しました。

イ・ウより、AI＝5、ID＝3であることが分かっています。

また、エより、4点E,I,D,Pが同一円周上にあることが分かっています。

△ADPと、E,I,D,Pを通過する円に対して、方べきの定理から、

　　AE・AP＝AD・AI

　　＝(AI＋ID)・AI

　　＝(5＋3)・5

　　＝40
となります。

※

方べきの定理では、どの辺とどの辺をかければ良いのか、

混乱してしまうことが考えられます。

まして、試験会場では緊張しますから、公式をド忘れするということもありえる話です。

こうしたトラブルに遭遇したときに、自ら公式をつくる方法も知っておくと良いでしょう。

つまり、「相似な三角形を見つけて、比例式をたてる」というものです。

この問題で言えば、△EAI∽△DAPです。

　・∠EAI＝∠DAP　　　(共有)

　・∠AEI＝∠ADP
　　←　一直線なので、

　　　∠AEI＋∠PEI＝180°　⇔　∠AEI＝180°－∠PEI　

　　　円に内接する四角形は、向かい合う角の和が180°なので、

　　　∠ADP＋∠PEI＝180　⇔　∠AEI＝180°－∠PEI

より、2組の角の大きさが等しいためです。

△EAI∽△DAPより、

　AE：AI＝AD：AP

ですので、

　AE・AP＝AD・AI
と、方べきの定理を再現することができました。