共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）本試験
問32 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問（2）（i）（キ・ク）)
問題文
空間内に、AB＝AC＝10，BC＝12である二等辺三角形ABCがある。ΔABCの内心をIとし、ΔIBCの重心をGとする。Gを通り、ΔABCを含む平面と垂直な直線上に、Gと異なる点Pがある。このとき、ΔABCを底面とする三角錐PABCについて考えよう。
直線AIと辺BCの交点をDとし、また、辺PA上の点Eは、∠PED＝∠PIDを満たしているとする。なお、以下の問題において比を解答する場合は、最も簡単な整数の比で答えよ。
（2）線分PIとDEの交点をFとする。このとき、線分IFとFPの長さの比と、三角錐PABCの体積との関係について考えよう。
（i）次の仮定1のもとで三角錐PABCの体積V1について考える。
＜仮定1＞
線分IFとFPの長さの日がIF：FP＝3：2である。
このとき
PE：EA＝：（ キ ）：（ ク ）
であるから、（1）での考察に注意すると、AP＝（ ケ ）√（ コ ）となる。
したがって，直線PGがΔABCを含む平面に垂直であることに注意すると、
V1＝（ サシ ）であることがわかる。
（ キ ）：（ ク ）にあてはまるものを選べ。
直線AIと辺BCの交点をDとし、また、辺PA上の点Eは、∠PED＝∠PIDを満たしているとする。なお、以下の問題において比を解答する場合は、最も簡単な整数の比で答えよ。
（2）線分PIとDEの交点をFとする。このとき、線分IFとFPの長さの比と、三角錐PABCの体積との関係について考えよう。
（i）次の仮定1のもとで三角錐PABCの体積V1について考える。
＜仮定1＞
線分IFとFPの長さの日がIF：FP＝3：2である。
このとき
PE：EA＝：（ キ ）：（ ク ）
であるから、（1）での考察に注意すると、AP＝（ ケ ）√（ コ ）となる。
したがって，直線PGがΔABCを含む平面に垂直であることに注意すると、
V1＝（ サシ ）であることがわかる。
（ キ ）：（ ク ）にあてはまるものを選べ。
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問題
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共通テスト（数学）試験 令和8年度（2026年度）本試験 問32（数学Ⅰ・数学A（第3問） 問（2）（i）（キ・ク）） （訂正依頼・報告はこちら）
空間内に、AB＝AC＝10，BC＝12である二等辺三角形ABCがある。ΔABCの内心をIとし、ΔIBCの重心をGとする。Gを通り、ΔABCを含む平面と垂直な直線上に、Gと異なる点Pがある。このとき、ΔABCを底面とする三角錐PABCについて考えよう。
直線AIと辺BCの交点をDとし、また、辺PA上の点Eは、∠PED＝∠PIDを満たしているとする。なお、以下の問題において比を解答する場合は、最も簡単な整数の比で答えよ。
（2）線分PIとDEの交点をFとする。このとき、線分IFとFPの長さの比と、三角錐PABCの体積との関係について考えよう。
（i）次の仮定1のもとで三角錐PABCの体積V1について考える。
＜仮定1＞
線分IFとFPの長さの日がIF：FP＝3：2である。
このとき
PE：EA＝：（ キ ）：（ ク ）
であるから、（1）での考察に注意すると、AP＝（ ケ ）√（ コ ）となる。
したがって，直線PGがΔABCを含む平面に垂直であることに注意すると、
V1＝（ サシ ）であることがわかる。
（ キ ）：（ ク ）にあてはまるものを選べ。
直線AIと辺BCの交点をDとし、また、辺PA上の点Eは、∠PED＝∠PIDを満たしているとする。なお、以下の問題において比を解答する場合は、最も簡単な整数の比で答えよ。
（2）線分PIとDEの交点をFとする。このとき、線分IFとFPの長さの比と、三角錐PABCの体積との関係について考えよう。
（i）次の仮定1のもとで三角錐PABCの体積V1について考える。
＜仮定1＞
線分IFとFPの長さの日がIF：FP＝3：2である。
このとき
PE：EA＝：（ キ ）：（ ク ）
であるから、（1）での考察に注意すると、AP＝（ ケ ）√（ コ ）となる。
したがって，直線PGがΔABCを含む平面に垂直であることに注意すると、
V1＝（ サシ ）であることがわかる。
（ キ ）：（ ク ）にあてはまるものを選べ。
- キ：1 ク：4
- キ：2 ク：3
- キ：3 ク：5
- キ：4 ク：7
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この過去問の解説 （2件）
01
前問までで、
です。
Fは、PIとDEの交点です。
したがって、D、F、Eは一直線上にあります。
また、A、I、Dも一直線上です。
位置関係を見ると、△AIPに対して、
Dは辺AIをIの先まで延長した直線上
Fは辺IP上
Eは辺PA上
にあります。
したがって、△AIPにメネラウスの定理を使えます。
△AIPに対して、一直線上にあるD、F、Eについて、
AD／DI × IF／FP × PE／EA＝1
となります。
前問より、AD＝8、DI＝3です。
また、仮定1より、
IF：FP＝3：2
なので、
IF／FP＝3／2
です。
これらを代入すると、
8／3 × 3／2 × PE／EA＝1
となります。
8／3×3／2＝4
なので、
4×PE／EA＝1
です。
したがって、PE／EA＝1／4となります。
よって、PE：EA＝1：4です。
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02
△APDを抜き出した図を描くと、4つ目の図のようになります。
しかし、この図だけを見て、
「A,I,G,Dが同一直線上にあるのはなぜ？ 問題文には書かれていないんだが…？」
と感じたかもしれませんね。
「△ABCの内心をIとし、△IBCの重心をGとする」
「Gを通り、△ABCを含む平面と垂直な直線上に、Gと異なる点Pがある」
とありました。
内心は、三角形の内角の二等分線です。従って、直線ADは、∠BACの二等分線であり、
Iはその直線AD上に存在します。よって、
・A,I,Dは、同一直線上に存在する (ⅰ)
ことが言えます。
△ABCはAB＝ACとする二等辺三角形であるため、Dは、特に辺BCの中点となります。
重心は、中線(三角形の各頂点から、向かい合う辺の中点を引いた線)の交点でした。
Dは辺BCの中点であったことから、直線IDは中線であり、
Gはその直線ID上に存在します。よって、
・I,G,Dは、同一直線上に存在する (ⅱ)
ことが言えます。
(ⅰ)・(ⅱ)より、
・A,I,G,Dは、同一直線上に存在する
ことが言え、上の4つ目の図が描けます。
IF：FP＝3：2より、メネラウスの定理から、
(PE/EA)×(AD/DI)×(IF/FP)＝1
(PE/EA)×((5+3)/3)×(3/2)＝1
(PE/EA)×4＝1
PE/EA＝1/4
PE：EA＝1：4
となります。
PE：EA＝1：4が正解です。
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