共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）本試験
問34 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問（2）（i）（サシ）)
問題文
空間内に、AB＝AC＝10，BC＝12である二等辺三角形ABCがある。ΔABCの内心をIとし、ΔIBCの重心をGとする。Gを通り、ΔABCを含む平面と垂直な直線上に、Gと異なる点Pがある。このとき、ΔABCを底面とする三角錐PABCについて考えよう。
直線AIと辺BCの交点をDとし、また、辺PA上の点Eは、∠PED＝∠PIDを満たしているとする。なお、以下の問題において比を解答する場合は、最も簡単な整数の比で答えよ。
（2）線分PIとDEの交点をFとする。このとき、線分IFとFPの長さの比と、三角錐PABCの体積との関係について考えよう。
（i）次の仮定1のもとで三角錐PABCの体積V1について考える。
＜仮定1＞
線分IFとFPの長さの日がIF：FP＝3：2である。
このとき
PE：EA＝：（ キ ）：（ ク ）
であるから、（1）での考察に注意すると、AP＝（ ケ ）√（ コ ）となる。
したがって，直線PGがΔABCを含む平面に垂直であることに注意すると、
V1＝（ サシ ）であることがわかる。
（ サシ ）にあてはまるものを選べ。
直線AIと辺BCの交点をDとし、また、辺PA上の点Eは、∠PED＝∠PIDを満たしているとする。なお、以下の問題において比を解答する場合は、最も簡単な整数の比で答えよ。
（2）線分PIとDEの交点をFとする。このとき、線分IFとFPの長さの比と、三角錐PABCの体積との関係について考えよう。
（i）次の仮定1のもとで三角錐PABCの体積V1について考える。
＜仮定1＞
線分IFとFPの長さの日がIF：FP＝3：2である。
このとき
PE：EA＝：（ キ ）：（ ク ）
であるから、（1）での考察に注意すると、AP＝（ ケ ）√（ コ ）となる。
したがって，直線PGがΔABCを含む平面に垂直であることに注意すると、
V1＝（ サシ ）であることがわかる。
（ サシ ）にあてはまるものを選べ。
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問題
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共通テスト（数学）試験 令和8年度（2026年度）本試験 問34（数学Ⅰ・数学A（第3問） 問（2）（i）（サシ）） （訂正依頼・報告はこちら）
空間内に、AB＝AC＝10，BC＝12である二等辺三角形ABCがある。ΔABCの内心をIとし、ΔIBCの重心をGとする。Gを通り、ΔABCを含む平面と垂直な直線上に、Gと異なる点Pがある。このとき、ΔABCを底面とする三角錐PABCについて考えよう。
直線AIと辺BCの交点をDとし、また、辺PA上の点Eは、∠PED＝∠PIDを満たしているとする。なお、以下の問題において比を解答する場合は、最も簡単な整数の比で答えよ。
（2）線分PIとDEの交点をFとする。このとき、線分IFとFPの長さの比と、三角錐PABCの体積との関係について考えよう。
（i）次の仮定1のもとで三角錐PABCの体積V1について考える。
＜仮定1＞
線分IFとFPの長さの日がIF：FP＝3：2である。
このとき
PE：EA＝：（ キ ）：（ ク ）
であるから、（1）での考察に注意すると、AP＝（ ケ ）√（ コ ）となる。
したがって，直線PGがΔABCを含む平面に垂直であることに注意すると、
V1＝（ サシ ）であることがわかる。
（ サシ ）にあてはまるものを選べ。
直線AIと辺BCの交点をDとし、また、辺PA上の点Eは、∠PED＝∠PIDを満たしているとする。なお、以下の問題において比を解答する場合は、最も簡単な整数の比で答えよ。
（2）線分PIとDEの交点をFとする。このとき、線分IFとFPの長さの比と、三角錐PABCの体積との関係について考えよう。
（i）次の仮定1のもとで三角錐PABCの体積V1について考える。
＜仮定1＞
線分IFとFPの長さの日がIF：FP＝3：2である。
このとき
PE：EA＝：（ キ ）：（ ク ）
であるから、（1）での考察に注意すると、AP＝（ ケ ）√（ コ ）となる。
したがって，直線PGがΔABCを含む平面に垂直であることに注意すると、
V1＝（ サシ ）であることがわかる。
（ サシ ）にあてはまるものを選べ。
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この過去問の解説 （2件）
01
前問までで、
と求めています。
Gは△IBCの重心です。
また、AB＝ACの二等辺三角形なので、DはBCの中点です。
したがって、△IBCにおいてIDは、頂点Iと辺BCの中点Dを結ぶ中線になります。
三角形の重心は、中線を頂点側から2：1に分けます。
そのため、
IG：GD＝2：1
です。
前問より、ID＝3なので、
IG＝2
GD＝1
となります。
A、I、G、Dは一直線上に並んでいるため、
AG＝AI＋IG
です。
AI＝5、IG＝2より、AG＝7となります。
問題文より、PGは△ABCを含む平面に垂直です。
AとGは△ABCを含む平面上にあるため、PG⊥AGです。
したがって、△APGはGを直角とする直角三角形です。
前問より、AP＝5√2であり、
AG＝7
なので、三平方の定理より、
AP²＝AG²＋PG²
です。
したがって、
（5√2）²＝7²＋PG²
50＝49＋PG²
PG²＝1
となります。
長さなので、PG＝1です。
△ABCでは、BC＝12です。
また、前問までで、AD＝8と求めました。
ADはBCに垂直なので、
△ABCの面積＝1／2×BC×AD
＝1／2×12×8＝48
です。
三角錐の体積は、底面積×高さ×1／3で求めます。
底面積は48、高さPGは1なので、
V1＝1／3×48×1＝16
です。
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02
ここまでの考察で、Dは辺BCの中点であること、
A,I,G,Dは同一直線上であることが分かっています。
また、(1)のイ・ウより、AI＝5、ID＝3であることも分かっています。
Gは、△IBCの重心であるため、IG：GD＝2：1となります。
従って、
IG＝3×(2/(2+1))＝2
である。従って、
AG＝AI+IG
＝5+2
＝7
です。
ケ・コで、AP＝5√2であることが分かっていました。
四面体PABCの体積V1は、
V1＝△ABC×PG×(1/3)
で求められます。
△ABC＝BC×AD×(1/2)
＝12×8×(1/2)
＝48
PG＝√(AP2－AG2) (△APGで三平方の定理)
＝√((5√2)2－72)
＝1
であるので、
V1＝48×1×(1/3)
＝16
となります。
V1＝16が正解です。
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