共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）本試験
問35 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問（2）（ii）（ス・セ）)

前問まででは、

AI＝5、ID＝3、AD＝8です。

Gは△IBCの重心なので、IG：GD＝2：1です。ID＝3よりIG＝2となり、

AG＝AI＋IG＝5＋2＝7

です。

また、

E、I、D、Pは同一円周上にあるので、方べきの定理より、

AE・AP＝AI・AD＝5×8＝40です。

さらに仮定1では、

IF：FP＝3：2のとき、PE：EA＝1：4となり、

AP＝5√2です。

その結果、PG＝1となるため、V₁＝16です。

と求めました。

今回は、仮定2のIF：FP＝1：3に変えて同じ流れで考えます。

まず、IF：FP＝1：3のときの、PGの長さを求めましょう。

求め方は、基本的に、(1)～(2)(ⅰ)の解き方をなぞる形となります。

しかし、(ⅰ)のIF：FP＝3：2のときと、(ⅱ)のIF：FP＝1：3のときと、

共通しているものもございます。

共通しているものについては、無駄な計算・考察をする必要はありません。

時間を節約するようにしましょう。

IF：FP＝1：3より、メネラウスの定理から、
　　(PE/EA)×(AD/DI)×(IF/FP)＝1
　　(PE/EA)×((5+3)/3)×(1/3)＝1
　　(PE/EA)×(8/9)＝1
　　PE/EA＝9/8
　　9EA＝8PE

　　EA＝(8/9)PE

　　AE＝(8/9)PE
となります。

PA上の点Eは、∠PED＝∠PIDを満たしながら動いているため、

(ⅰ)のIF：FP＝3：2のときと、(ⅱ)のIF：FP＝1：3のとき、

どちらの場合でも、AE・AP＝40となります((1)のオ・カを思い出しましょう)。

AE・AP＝40より、
　　AE・AP＝40

　　AE・(AE+PE)＝40

　　(8/9)PE・((8/9)PE+PE)＝40　　　(AE＝(8/9)PEより)
　　(136/81)PE²＝40
　　PE²＝40×81/136
　　＝81×5/17
となります。PE＞0なので、PE＝9√(5/17)です。

※

PE²＝81×5/17については、分子のかけ算を拒否する形となっていますね。

PEを求めるときに、有理化することが予測されますが、

その際、√17を分母・分子にかけると、分子が大きな数字になること、

簡単な値に直すのが難しそうであることを見越しています

(実際に計算してみればわかりますので、試してみてください)。

　　AE＝(8/9)PE
より、
　　AE＝(8/9)×9√(5/17)＝8√(5/17)
であり、
　　AP＝AE+PE
　　　 ＝8√(5/17)+9√(5/17)
　　　 ＝17√(5/17)
　　　 ＝√85
となります。

(ⅰ)のIF：FP＝3：2のときと、(ⅱ)のIF：FP＝1：3のとき、

どちらの場合も、底面△ABCの形状は同じです。

(ⅰ)のサ・シを求める際、AGの長さ＝7と求めていたはずですが、

この(ⅱ)でも、AGの長さ＝7となります。

△AGPについて、三平方の定理から、
　　PG＝√(AP²－AG²)　　　(△APGで三平方の定理)

　　　 ＝√((√85)²－7²)
　　　 ＝6
となります。
 

(ⅱ)IF：FP＝1：3のとき、PG＝6であることが分かりました。

一方で、(ⅰ)IF：FP＝3：2のとき、PG＝1であったことも分かっています。

(ⅱ)のIF：FP＝1：3のときと、(ⅰ)のIF：FP＝3：2のとき、

どちらの場合も、底面△ABCの形状は同じですので、
(ⅱ)IF：FP=1：3のときの三角錐PABCの体積V₂と、

(ⅰ)IF：FP=3：2のときの三角錐PABCの体積V₁の比は、高さPGの比となります。

従って、
　　V₂：V₁＝6：1
となります。