共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）本試験
問36 (数学Ⅰ・数学A（第3問） 問（2）（ii）（ソ）)

空間内に、AB＝AC＝10、BC＝12である二等辺三角形ABCがある。ΔABCの内心をIとし、ΔIBCの重心をGとする。Gを通り、ΔABCを含む平面と垂直な直線上に、Gと異なる点Pがある。このとき、ΔABCを底面とする三角錐PABCについて考えよう。

直線AIと辺BCの交点をDとし、また、辺PA上の点Eは、∠PED＝∠PIDを満たしているとする。なお、以下の問題において比を解答する場合は、最も簡単な整数の比で答えよ。

（2）線分PIとDEの交点をFとする。このとき、線分IFとFPの長さの比と、三角錐PABCの体積との関係について考えよう。

（i）次の仮定1のもとで三角錐PABCの体積V₁について考える。

＜仮定1＞
線分IFとFPの長さの日がIF：FP＝3：2である。

このとき

PE：EA＝：（　キ　）：（　ク　）

であるから、（1）での考察に注意すると、AP＝（　ケ　）√（　コ　）となる。
したがって，直線PGがΔABCを含む平面に垂直であることに注意すると、
V₁＝（　サシ　）であることがわかる。

（ii）（i）の仮定1の代わりに次の仮定2をおき、三角錐PABCの体積の変化について考える。

＜仮定2＞
線分IFとFPの長さの比がIF：FP＝1：3である。

仮定2のもとでの三角錐PABCの体積V₂を、（i）で求めたV₁と比較すると，V₂とV₁の比は

V₂：V₁＝（　ス　）：（　セ　）

であるから、（　ソ　）。

（　ソ　）にあてはまるものを選べ。