共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）本試験
問59 (数学Ⅱ・数学B（第2問） 問（1）（イ）)

①の右辺に「A+B2,A-B2」という形が登場しているので、α=A+B2,β=A-B2としてみます。

このとき、α+β=A+B2+A-B2=A、α-β=A+B2-A-B2=Bなので、②と③に代入すると、

sinA=sinA+B2cosA+B2+cosA+B2sinA+B2・・・②'

sinB=sinA+B2cosA+B2-cosA+B2sinA+B2・・・③'

②'と③'の両辺を足すと、

sinA+sinB=2sinA+B2cosA+B2

となり、①が導出できます。

アより、

　　sin⁡(α＋β)＝sin⁡αcos⁡β＋cos⁡αsin⁡β　　　②
　　sin⁡(α－β)＝sin⁡αcos⁡β－cos⁡αsin⁡β　　　③

であることが分かっています。

②＋③により、

　　sin⁡(α＋β)＋sin⁡(α－β)＝2sin⁡αcos⁡β　　　(※)
となります。

結論の式

　　sinA＋sinB＝2sinA＋B2cosA－B2　　　①

と(※)を比較したとき、特に左辺を比較したとき、

「α＋β＝A、α－β＝Bとするのかな？」と予測できそうです。

ここで、

　　α＋β＝A　　　　④

　　α－β＝B　　　　⑤

を、α,βに関する連立方程式として解いていきます。

④＋⑤より、

　　2α＝A＋B　　⇔　　α＝A＋B2

となります。また、④－⑤より、

　　2β＝A－B　　⇔　　β＝A－B2

となります。

(※)に、α＝A＋B2, β＝A－B2を代入して、

　　sinA＋sinB＝2sinA＋B2cosA－B2　　　①

が得られます。

※

　　sinA＋sinB＝2sinA＋B2cosA－B2

は、いわゆる「和→積の公式」と呼ばれるものです。

この「和→積の公式」は、理系であれば、

数学Ⅲで利用する局面がありますので、導出できるようにしましょう。

文系でも、難関大学を目指すということであれば、

導出方法を覚えておいて損はないと思います。

ぜひ導出できるようにしましょう。

　　sinA＋sinB＝2sinA＋B2cosA－B2

　　sinA－sinB＝2cosA＋B2sinA－B2

は、sinの加法定理から導出できます。また、

　　cosA＋cosB＝2cosA＋B2cosA－B2

　　cosA－cosB＝－2sinA＋B2sinA－B2

は、cosの加法定理から導出することができます。

時間を見つけて、導出の練習をしてみてください。