共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）本試験
問72 (数学Ⅱ・数学B（第3問） 問（1）（i）（エ・オ）)

f(x)＝13x³－2x²＋3x＋kに対して、

　　f'(x)＝13×3x²－2×2x＋3×1＋0

　　　　＝x²－4x＋3

　　　　＝(x－1)(x－3)

となります。

f'(x)＝0を満たすxは、
　　(x－1)(x－3)＝0
　　　　　　　 x＝1,3
となります。

f'(x)＝x²－4x＋3のグラフは、上図のようになり、

　　・x＜1では、f'(x)＞0

　　・1＜x＜3では、f'(x)＜0

　　・3＜xでは、f'(x)＞0

となります。
従って、増減表は以下のようになります。

よって、

　　x＝3のとき、f(x)は極小値kをとる

ことになります。

※

数学Ⅱの微分で、増減表の＋・－を判断するとき、

「x＜1であるxを、1＜x＜3であるxを、3＜xであるxを、

  f'(x)の式に代入して計算して、＋・－を判断すれば良い」

と思っている人もいるかもしれません。

この問題であれば、確かにそれで対応できますが、

計算に√や文字が絡んできたりすると、

途端に対応することが難しくなります。

では、どう判断するべきかと言えば、

　　・f'(x)のグラフを描いて、x軸よりも上側にある範囲、下側にある範囲を調べる

　　 上側にある範囲では、増減表には＋と書き込み、

　　 下側にある範囲では、増減表には－と書き込む

と良いでしょう。

共通テストの微分の問題では、3次関数が出題されるのが鉄板です。

3次関数の導関数は2次関数ですので、

増減表の＋・－の判断は、2次関数の知識がベースになります。

「3次関数の増減表の＋・－の判断が、どうもうまくできないんだよな…」という人は、

2次関数の知識があやふやになっている可能性があります。

数学Ⅰの2次関数に遡って復習することをおススメいたします。