共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）本試験
問91 (数学Ⅱ・数学B（第4問） 問（3）（ツ）)

(注)

数列{a_n}に対して、第1項から第n項までの和を、

　　∑_k＝1ⁿa_k

と表記します。

基本的に、(2)と似たような解き方をします。

今回考えるのは、

　　d_n＝(n²－n－1)・2ⁿ

で表される数列{d_n}の和です。

この数列{d_n}が、数列{c_n}の階差数列であるものを見つけていきます。

すなわち、

　　(n²－n－1)・2ⁿ＝c_n＋1－c_n

となる数列{c_n}を見つけにいきます。

数列{d_n}は、一般項がnの2次式と2ⁿの積であることから、数列{c_n}の一般項は、

　　c_n＝(pn²＋qn＋r)・2ⁿ

と予想しましょう。

※

(2)では、

　　d_n＝(2n＋1)・2ⁿ

でした。数列{d_n}の一般項はnの1次式と2ⁿの積でしたね。

そのため、数列{c_n}の一般項もnの1次式と2ⁿの積で表示できると予想し、

(2n＋1)・2ⁿ＝c_n＋1－c_nを満たすc_nを、

　　c_n＝(pn＋q)・2ⁿ

と置いていました。

今回の(3)では、数列{d_n}は、一般項がnの2次式と2ⁿの積であるので、

数列{c_n}の一般項もnの2次式と2ⁿの積で表示できると予想するわけです。

　　c_n＝(pn²＋qn＋r)・2ⁿ

に対して、

　　c_n＋1－c_n＝(p(n＋1)²＋q(n＋1)＋r)・2^n＋1－(pn²＋qn＋r)・2ⁿ

　　　　　　 ＝(pn²＋(2p＋q)n＋p＋q＋r)・2ⁿ・2－(pn²＋qn＋r)・2ⁿ

　　　　　　 ＝(2pn²＋2(2p＋q)n＋2(p＋q＋r))・2ⁿ－(pn²＋qn＋r)・2ⁿ

　　　　　　 ＝((2pn²＋2(2p＋q)n＋2(p＋q＋r))－(pn²＋qn＋r))・2ⁿ

　　　　　　 ＝(pn²＋(4p＋q)n＋2p＋2q＋r)・2ⁿ

となります。

　　(n²－n－1)・2ⁿ＝c_n＋1－c_n

とつなげると、

　　(n²－n－1)・2ⁿ＝(pn²＋(4p＋q)n＋2p＋2q＋r)・2ⁿ

となります。

両辺を2ⁿ(≠0)で割ると、

　　n²－n－1＝pn²＋(4p＋q)n＋2p＋2q＋r

となります。

この等式は、1以上の自然数nで成り立ちますので、

　　1＝p

　　－1＝4p＋q

　　－1＝2p＋2q＋r

を全て満たすことになります。これを解くと、

　　p＝1,q＝－5,r＝7

となります。従って、

　　c_n＝(n²－5n＋7)・2ⁿ

となります。このとき、

　　∑_k＝1ⁿd_k

　＝∑_k＝1ⁿ(c_k＋1－c_k)

　　　(数列{d_n}は、数列{c_n}の階差数列であるので、d_n＝c_n＋1－c_nである)

　＝(c₂－c₁)＋(c₃－c₂)＋(c₄－c₃)＋…＋(c_n＋1－c_n)

　＝c_n＋1－c₁

　＝((n＋1)²－5(n＋1)＋7)・2^n＋1－(1²－5×1＋7)・2¹

　＝(n²－3n＋3)・2^n＋1－6

となります。