共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）本試験
問96 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問（2）（ii）（オ）)

(注)

n個の標本X₁,X₂,X₃,…,X_nに対する標本平均をX ̅と表記します。

(ⅰ)のウ・エより、i＝1,2,3,…,nに対して、

　　E(W_i)＝p　　V（W_i）＝p(1－p)

であることが分かっています。

母平均はp、母分散はp(1－p)ですので、

　　W ̅＝W₁＋W₂＋W₃＋…＋W_nn

は、正規分布N(p,p(1－p)n)に従います。

※

母平均がm、母分散がσ²である母集団から、

十分に大きなn個の標本を無作為に抽出したとき、

n個の標本平均X ̅は、正規分布N(m,σ²n)に従います。

※

2つの確率変数をX,Yとします。このとき、

　　E(aX)＝aE(X)　　　V(aX)＝a²V(X)

　　E(X＋Y)＝E(X＋Y)　

が成り立ちます。また、X,Yが独立な確率変数であるとき、

　　V(X＋Y)＝V(X)＋V(Y)

が成り立ちます。これらを活用して、

　　W ̅＝W₁＋W₂＋W₃＋…＋W_nn
の平均(期待値)E(W ̅ )、分散V(W ̅ )を計算すると、
　E(W ̅)＝E(W₁＋W₂＋W₃＋…＋W_nn)

　　＝1nE(W₁＋W₂＋W₃＋…＋W_n)

　　＝1n(E(W₁)＋E(W₂)＋E(W₃)＋⋯＋E(W_n))
　　＝1n(p＋p＋p＋⋯＋p)  　(E(W_i)＝p　(i＝1,2,3,…,n))
　　＝1n・np　　　　　　　　(pがn個並んでいるので)

　　＝p
 　V(W ̅)＝V(W₁＋W₂＋W₃＋…＋W_nn)
　　＝(1n)²V(W₁＋W₂＋W₃＋…＋W_n)

　　＝(1n)²(V(W₁)＋V(W₂)＋V(W₃)＋⋯＋V(W_n))
　　　(W₁,W₂,W₃,…,W_nは無作為に抽出された標本であり、

　　　母集団が十分に大きく、互いに独立であると見なせるため)
　　＝(1n)²(p(1－p)＋p(1－p)＋p(1－p)＋…＋p(1－p))

　　　(V(W_i)＝p(1－p)　(i＝1,2,3,…,n))
　　＝(1n)²・np(1－p)　　　(p(1－p)がn個並んでいるので)
　　＝p(1－p)n
となります。

従って、nが十分に大きいとき、W ̅＝W₁＋W₂＋W₃＋…＋W_nnは、

近似的に、正規分布N(p,p(1－p)n)に従います。