共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）本試験
問102 (数学Ⅱ・数学B（第5問） 問（3）（サ）)

(注)

n個の標本X₁,X₂,X₃,…,X_nに対する標本平均をX ̅と表記します。

(1)オより、表1の確率分布を持つ母集団に対して、n個の無作為抽出を行ったとき、

nが十分に大きければ、

　　標本平均W ̅＝W₁＋W₂＋W₃＋…＋W_nn

は、正規分布N(p,p(1－p)n)に従うことが分かっています。

n＝100において、帰無仮説「p＝0.4」が正しいとき、W ̅は、

　　N(0.4,0.4×(1－0.4)100)＝N(0.4,0.4×0.6100)

　　　　　　　　　　　　  ＝N(0.4,(2/5)×(3/5)100)

　　　　　　　　　　　　  ＝N(0.4,62500)

　　　　　　　　　　　　  ＝N(0.4,(650)²)

に従うことになります。

Yを、

　　Y＝W^－－0.46/50
としましょう。このとき、Yは、標準正規分布N(0,1)に従います。

P(W ̅≧46100)を計算すると、

　　P(W ̅≧46100)＝P(W ̅≧0.46)
　　　　　　　　   ＝P(W ̅－0.4≧0.06)
　　　　　　　　   ＝P(W^－－0.46/50≧0.066/50)

　　　　　　　　   ＝P(Y≧0.066/50)

　　　　　　　　   ＝P(Y≧36)

　　　　　　　　   ＝P(Y≧62)

　　　　　　　　   ＝P(Y≧2.452)　　　　(6＝2.45より)

　　　　　　　　   ＝P(Y≧1.225)

　　　　　　　　   ≧P(Y≧1.23)

　　　　　　　　   ＝0.5－0.3907　　　 (正規分布表から)
　　　　　　　　   ＝0.1093
となります。

この0.1093を％に直すと、10.93%となります。

帰無仮説「p＝0.4」であるとすると、

　　P(W ̅≧46100)≧10.93%

と、有意水準5%よりも大きい、そこそこ起きうる出来事であると言えます。

このため、帰無仮説「p＝0.4」が誤っているとは言えず、

帰無仮説を棄却することができません。

つまり、今年の資格試験の合格率は0.4よりも高かったとは、

必ずしも言えないことになります。

※

正規分布表では、P(0≦Y≦1.225)を読み取れません。

P(0≦Y≦z)のzが小数第2位までであれば、正規分布表から読み取れますが、

zが小数第3位まで書かれているときは読み取れません。

従って、「これくらいかな？」と予測しなければいけません。

正規分布表から、

　　P(0≦Y≦1.22)＝0.3888

　　P(0≦Y≦1.23)＝0.3907

となりますので、

　　P(Y≧1.22)＝0.5－0.3888＝0.1112

　　P(Y≧1.23)＝0.5－0.3907＝0.1093

となります。

このことから、

「P(W ̅≧46100)は11%くらい、有意水準5%よりも高いな…」

と予測できますね。

一応、不等式を用いて、有意水準5%よりも高いことを厳密に示していますが、

試験会場では、大雑把な予測で問題ございません。