共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）本試験
問113 (数学Ⅱ・数学B（第7問） 問（2）（i）（キ・ク）)
問題文
zを0でない複素数とし、w＝z＋（1／z）とする。また、rを正の実数とし、複素数平面上で、原点Oを中心とする半径rの円をCとする。
（1）z＝√3＋iのとき、|z|＝（ ア ）であり
w＝（｛ イ ｝√｛ ウ ｝／｛ エ ｝）＋（｛ オ ｝／｛ カ ｝）i
である。
（2）zがC上を動くとき、wが複素数平面上で描く図形を考える。
実数θをzの偏角とし、極形式を用いてz＝r（cosθ＋isinθ）と表す。
（i）w＝z＋（1／z）をr，θを用いて表すと
w＝（ キ ）＋i（ ク ）・・・・・①
である。したがって、θの値によらず（ ク ）＝0となるようなr値は（ ケ ）である。
（ キ ）（ ク ）にあてはまるものを選べ。
（1）z＝√3＋iのとき、|z|＝（ ア ）であり
w＝（｛ イ ｝√｛ ウ ｝／｛ エ ｝）＋（｛ オ ｝／｛ カ ｝）i
である。
（2）zがC上を動くとき、wが複素数平面上で描く図形を考える。
実数θをzの偏角とし、極形式を用いてz＝r（cosθ＋isinθ）と表す。
（i）w＝z＋（1／z）をr，θを用いて表すと
w＝（ キ ）＋i（ ク ）・・・・・①
である。したがって、θの値によらず（ ク ）＝0となるようなr値は（ ケ ）である。
（ キ ）（ ク ）にあてはまるものを選べ。
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問題
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共通テスト（数学）試験 令和8年度（2026年度）本試験 問113（数学Ⅱ・数学B（第7問） 問（2）（i）（キ・ク）） （訂正依頼・報告はこちら）
zを0でない複素数とし、w＝z＋（1／z）とする。また、rを正の実数とし、複素数平面上で、原点Oを中心とする半径rの円をCとする。
（1）z＝√3＋iのとき、|z|＝（ ア ）であり
w＝（｛ イ ｝√｛ ウ ｝／｛ エ ｝）＋（｛ オ ｝／｛ カ ｝）i
である。
（2）zがC上を動くとき、wが複素数平面上で描く図形を考える。
実数θをzの偏角とし、極形式を用いてz＝r（cosθ＋isinθ）と表す。
（i）w＝z＋（1／z）をr，θを用いて表すと
w＝（ キ ）＋i（ ク ）・・・・・①
である。したがって、θの値によらず（ ク ）＝0となるようなr値は（ ケ ）である。
（ キ ）（ ク ）にあてはまるものを選べ。
（1）z＝√3＋iのとき、|z|＝（ ア ）であり
w＝（｛ イ ｝√｛ ウ ｝／｛ エ ｝）＋（｛ オ ｝／｛ カ ｝）i
である。
（2）zがC上を動くとき、wが複素数平面上で描く図形を考える。
実数θをzの偏角とし、極形式を用いてz＝r（cosθ＋isinθ）と表す。
（i）w＝z＋（1／z）をr，θを用いて表すと
w＝（ キ ）＋i（ ク ）・・・・・①
である。したがって、θの値によらず（ ク ）＝0となるようなr値は（ ケ ）である。
（ キ ）（ ク ）にあてはまるものを選べ。
- キ：｛r－（1／r）｝cosθ ク：｛r＋（1／r）｝sinθ
- キ：｛r＋（1／r）｝cosθ ク：｛r＋（1／r）｝sinθ
- キ：｛r－（1／r）｝cosθ ク：｛r－（1／r）｝sinθ
- キ：｛r＋（1／r）｝cosθ ク：｛r－（1／r）｝sinθ
- キ：（r＋1）cosθ ク：（r－1）sinθ
- キ：（r－1）cosθ ク：（r＋1）sinθ
- キ：2rcosθ ク：｛r－（1／r）｝sinθ
- キ：｛r＋（1／r）｝cosθ ク：2rsinθ
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この過去問の解説 （1件）
01
z＝r(cosθ＋isinθ)を、w＝z＋1zに代入すると、
w＝r(cosθ＋isinθ)＋1r(cosθ＋isinθ)
＝r(cosθ＋isinθ)＋cosθ－isinθr(cosθ＋isinθ)(cosθ－isinθ)
＝r(cosθ＋isinθ)＋cosθ－isinθr(cos2θ－i2sin2θ)
＝r(cosθ＋isinθ)＋cosθ－isinθr(cos2θ＋sin2θ)
＝r(cosθ＋isinθ)＋cosθ－isinθr(sin2θ＋cos2θ)
＝r(cosθ＋isinθ)＋cosθ－isinθr (sin2θ＋cos2θ＝1より)
＝(r＋1r)cosθ＋i(r－1r)sinθ
となります。
w＝(r＋1r)cosθ＋i(r－1r)sinθが正解です。
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