共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）本試験
問116 (数学Ⅱ・数学B（第7問） 問（2）（iii）（サ）)
問題文
zを0でない複素数とし、w＝z＋（1／z）とする。また、rを正の実数とし、複素数平面上で、原点Oを中心とする半径rの円をCとする。
（1）z＝√3＋iのとき、|z|＝（ ア ）であり
w＝（｛ イ ｝√｛ ウ ｝／｛ エ ｝）＋（｛ オ ｝／｛ カ ｝）i
である。
（2）zがC上を動くとき、wが複素数平面上で描く図形を考える。
実数θをzの偏角とし、極形式を用いてz＝r（cosθ＋isinθ）と表す。
（i）w＝z＋（1／z）をr，θを用いて表すと
w＝（ キ ）＋i（ ク ）・・・・・①
である。したがって、θの値によらず（ ク ）＝0となるようなr値は（ ケ ）である。
（ii）r＝（ ケ ）とする。zがC上を動くとき、wが描く図形は（ コ ）である。
（iii）r≠（ ケ ）とする。x，yを実数としてw＝x＋yiとおくと、①から
x＝（ キ ），y＝（ ク ）・・・・・②
が成り立つ。②の二つの式からθを消去すると、x，yは（ サ ）を満たし、
zがC上を動くとき、w＝x＋yiは（ サ ）の表す図形を描く。
（ サ ）にあてはまるものを選べ。
（1）z＝√3＋iのとき、|z|＝（ ア ）であり
w＝（｛ イ ｝√｛ ウ ｝／｛ エ ｝）＋（｛ オ ｝／｛ カ ｝）i
である。
（2）zがC上を動くとき、wが複素数平面上で描く図形を考える。
実数θをzの偏角とし、極形式を用いてz＝r（cosθ＋isinθ）と表す。
（i）w＝z＋（1／z）をr，θを用いて表すと
w＝（ キ ）＋i（ ク ）・・・・・①
である。したがって、θの値によらず（ ク ）＝0となるようなr値は（ ケ ）である。
（ii）r＝（ ケ ）とする。zがC上を動くとき、wが描く図形は（ コ ）である。
（iii）r≠（ ケ ）とする。x，yを実数としてw＝x＋yiとおくと、①から
x＝（ キ ），y＝（ ク ）・・・・・②
が成り立つ。②の二つの式からθを消去すると、x，yは（ サ ）を満たし、
zがC上を動くとき、w＝x＋yiは（ サ ）の表す図形を描く。
（ サ ）にあてはまるものを選べ。
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問題
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共通テスト（数学）試験 令和8年度（2026年度）本試験 問116（数学Ⅱ・数学B（第7問） 問（2）（iii）（サ）） （訂正依頼・報告はこちら）
zを0でない複素数とし、w＝z＋（1／z）とする。また、rを正の実数とし、複素数平面上で、原点Oを中心とする半径rの円をCとする。
（1）z＝√3＋iのとき、|z|＝（ ア ）であり
w＝（｛ イ ｝√｛ ウ ｝／｛ エ ｝）＋（｛ オ ｝／｛ カ ｝）i
である。
（2）zがC上を動くとき、wが複素数平面上で描く図形を考える。
実数θをzの偏角とし、極形式を用いてz＝r（cosθ＋isinθ）と表す。
（i）w＝z＋（1／z）をr，θを用いて表すと
w＝（ キ ）＋i（ ク ）・・・・・①
である。したがって、θの値によらず（ ク ）＝0となるようなr値は（ ケ ）である。
（ii）r＝（ ケ ）とする。zがC上を動くとき、wが描く図形は（ コ ）である。
（iii）r≠（ ケ ）とする。x，yを実数としてw＝x＋yiとおくと、①から
x＝（ キ ），y＝（ ク ）・・・・・②
が成り立つ。②の二つの式からθを消去すると、x，yは（ サ ）を満たし、
zがC上を動くとき、w＝x＋yiは（ サ ）の表す図形を描く。
（ サ ）にあてはまるものを選べ。
（1）z＝√3＋iのとき、|z|＝（ ア ）であり
w＝（｛ イ ｝√｛ ウ ｝／｛ エ ｝）＋（｛ オ ｝／｛ カ ｝）i
である。
（2）zがC上を動くとき、wが複素数平面上で描く図形を考える。
実数θをzの偏角とし、極形式を用いてz＝r（cosθ＋isinθ）と表す。
（i）w＝z＋（1／z）をr，θを用いて表すと
w＝（ キ ）＋i（ ク ）・・・・・①
である。したがって、θの値によらず（ ク ）＝0となるようなr値は（ ケ ）である。
（ii）r＝（ ケ ）とする。zがC上を動くとき、wが描く図形は（ コ ）である。
（iii）r≠（ ケ ）とする。x，yを実数としてw＝x＋yiとおくと、①から
x＝（ キ ），y＝（ ク ）・・・・・②
が成り立つ。②の二つの式からθを消去すると、x，yは（ サ ）を満たし、
zがC上を動くとき、w＝x＋yiは（ サ ）の表す図形を描く。
（ サ ）にあてはまるものを選べ。
- （x2／r2）＋（y2／r2）＝1
- （x2／r2）−（y2／r2）＝1
- （x2／（r＋1／r）2）＋（y2／（r−1／r）2）＝1
- （x2／（r＋1／r）2）−（y2／（r−1／r）2）＝1
- （x2／（r−1／r）2）＋（y2／（r＋1／r）2）＝1
- （x2／（r−1／r）2）−（y2／（r−1／r）2）＝1
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この過去問の解説 （1件）
01
(ⅰ)のキ・クより、z＝r(cosθ＋isinθ)(但し、r＞0)であるとき、w＝z＋1zは、
w＝(r＋1r)cosθ＋i(r－1r)sinθ ①
となることが分かっています。
ケより、θに関係なく、(r－1r)sinθが0になるのは、r－1r＝0であるときで、
具体的にはr＝1であることが分かっています。
①において、w＝x＋yiとすると、実部と虚部を比較すれば、
x＝(r＋1r)cosθ y＝(r－1r)sinθ
となります。
r＞0,r≠1のとき、
r＋1r＞0 r－1r≠0
なので、
cosθ＝xr＋(1/r) sinθ＝yr－(1/r)
となります。
sin2θ＋cos2θ＝1に代入すると、θが消去され、
rだけの式になります。
実際に、
(yr－(1/r))2＋(xr＋(1/r))2＝1
x2(r＋(1/r))2＋y2(r－(1/r))2＝1
となります。
※
ここでは問われていませんが、wの描く図形は楕円です。
x2(r＋(1/r))2＋y2(r－(1/r))2＝1が正解です。
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