共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）追・再試験
問3 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問〔1〕（3）（カ～ク）)

〔1〕k、nはn＞k²を満たす自然数とする。次の実数

1／（√n－k）　・・・・・①

を考え、その整数部分をaで表す。

（1）k＝1、n＝3の場合を考えよう。このとき、①の分母を有理化すると

1／（√3－1）＝｛√（　ア　）＋（　イ　）｝／（　ウ　）

となる。したがって、a＝（　エ　）である。

（2）n＝k²＋1の場合を考えよう。このとき、①は

1／（√（k²＋1）－k）となる。

この分母を有理化して、k²、k²＋1、（k＋1）²の大小を考えると、a＝（　オ　）であることがわかる。

（3）①の整数部分aの値について、a≧kとなるnの個数を求めよう。
kが自然数であることを考慮すると、a≧kであるための必要十分条件は

1／（√n－k）（　カ　）k　・・・・・②

である。②の両辺の逆数をとると

√n－k（　キ　）1／k　・・・・・③

となる。③であるための必要十分条件を、自然数mを用いて

n（　キ　）k²＋m＋（1／k²）

と表すと、m＝（　ク　）である。
したがって、n＞k²に注意すると、次のことがわかる。

・k＝1に対して、a≧kとなるnの個数は（　ケ　）個である。
・2以上のkに対して、a≧kとなるnの個数は（　コ　）個である。

（　カ　）〜（　ク　）にあてはまるものを1つ選べ。