共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）追・再試験
問4 (数学Ⅰ・数学A（第1問） 問〔1〕（3）（ケ・コ）)

カ～クより、1n－kの整数部分aが、a≧kとなるには、

　　1n－k≧k　　　　②
が必要十分条件であり、式変形を通じて、

　　n≦k²＋2＋1k²

となることが分かっています。

問題文の冒頭に、n＞k²という条件がありましたので、

　　k＜n≦k²＋2＋1k²　　　(♯)
となります。

kの値に応じて、この不等式を満たす自然数nの個数を求めていきます。

(A)k＝1のとき

(♯)にk＝1を代入すると、

　　1＜n≦1²＋2＋11²

　　1＜n≦4

となります。nは自然数ですので、n＝2,3,4の3個となります。

a≧kとなる自然数nは、3個となります。

(B)k≧2のとき

この場合、

　　0＜1k²＜1

であるので、

　　k²＋2＜k²＋2＋1k²＜k²＋3

となります。

kは整数であり、k²＋2とk²＋3は連続する2整数ですので、

(♯)の不等式の上限k²＋2＋1k²について、整数部分はk²＋2となります

(まわりくどい言い方をしている感じですが、

 「k²＋2＋1k²は、k²＋2が整数部分で、1k²が小数部分である」と理解しましょう)。

(♯)を満たす自然数nは、n＝k²＋1,k²＋2の2個となります。

a≧kとなる自然数nは、3個となります。

もし、分かりにくければ、下図の数直線も参考にしてみてください。