共通テスト（数学） 過去問
令和8年度（2026年度）追・再試験
問95 (数学Ⅱ・数学B（第7問） 問8)

絶対値を含む極方程式の表す図形について考察する。ここでは、座標平面において、原点Oを極とし、x軸の正の部分を始線とする極座標（r, θ）を用いる。すなわち、座標平面上の点Pの位置を、OPの長さrと、x軸の正の部分を始線とする動径OPの表す角θの組（r, θ）で定める。
ただし、r≧0、0≦θ＜2πとする。また、r＝0のとき、極座標（0, θ）はθの値によらず原点Oを表す。

（2）極方程式

r＝2｜cosθ｜　・・・・・②

の表す座標平面上の図形をCとする。

（i）θ＝π／6のとき、②からr＝（　ウ　）である。極座標が（（　ウ　）, π／6）である点の直交座標は、①を用いると（（　エ　）, （　オ　））である。

（ii）②を直交座標（x, y）の方程式で表すことにより、②の表す図形Cについて考えよう。

・cosθ≧0を満たすθの値の範囲は0≦θ≦π／2、3π／2≦θ＜2πである。このとき、②は

r＝2cosθ　・・・・・③

である。③の両辺にrを掛けて①を用いると、③はx、yの方程式（　カ　）と変形できる。

・cosθ＜0を満たすθの値の範囲はπ／2＜θ＜3π／2である。このとき、②は

r＝－2cosθ　・・・・・④

である。cosθ≧0の場合と同様に考えると、④もx、yの方程式で表すことができる。

以上のことから、図形Cは（　キ　）であることがわかる。

（3）極方程式　r＝1＋2｜cosθ｜　・・・・・⑤

の表す座標平面上の図形をDとする。

（i）⑤を満たすrとθの関係について考えよう。

rの最大値は（　ク　）であり、このときのθの値は（　ケ　）と（　コ　）である。
rの最小値は（　サ　）であり、このときのθの値は（　シ　）と（　ス　）である。

（　サ　）＜r＜（　ク　）のとき、⑤を満たすθの値の個数は、rの値によらず、つねに（　セ　）個である。

（ii）（2）の図形Cをもとに図形Dを考えよう。

図形C上に点Pをとる。まず、Pが原点でない場合に、原点Oを端点とする半直線OPと図形Dの共有点をQとすると、②と⑤から、線分OQの長さは線分OPの長さに1を加えたものになる。次に、Pが原点の場合は、②を満たすPの極座標は（0, （　ソ　））と（0, （　タ　））である。θ＝（　ソ　）, （　タ　）のとき、⑤を満たすのはr＝（　チ　）のときである。
以上のことから、図形Dは（　ツ　）であることがわかる。

（　ソ　）〜（　チ　）にあてはまるものを1つ選べ。